Enunciado

Mostre, por meio de diferenciação, que a função

C t = a ⋅ ln ⁡ y t - b ⋅ y t - d ⋅ x t + c ⋅ ln ⁡ x t

é constante quando x ( t ) e y ( t ) são positivos e satisfazem as equações presa-predador. Enquanto x e y   podem variar com o passar do tempo, C ( t ) não pode. Assim, C é uma quantidade conservada, e sua existência fornece uma lei de conservação. Uma trajetória que começa em um ponto ( x ,   y ) no instante t   =   0 fornece um valor de C que se mantém inalterado em tempos futuros. Cada valor da constante C fornece uma trajetória para o sistema autônomo, e essas trajetórias se fecham, em vez de espiralar para dentro e para fora. As populações de coelho e raposa oscilam através de ciclos repetidos ao longo de uma trajetória fixa. A Figura 9.37 mostra várias trajetórias para o sistema presa-predador.

Passo 1

Supondo x ( t ) e y ( t ) positivas e que satisfazem a equação presa e predador descrita no livro que pode ser resumida pelas equações

d x d t = a - b y ⋅ x

d y d t = - c + d x ⋅ y

Devemos mostrar que dada a equação C t = a ⋅ ln ⁡ y t - b ⋅ y t - d ⋅ x t + c ⋅ ln ⁡ x t

Deve implicar em C t = c o n s t a n t e .

Passo 2

Vamos pegar nossa função   C ( t ) e derivá-la

C t = a ⋅ ln ⁡ y t - b ⋅ y t - d ⋅ x t + c ⋅ ln ⁡ x t

Para simplificar a visualização vamos fazer as seguintes substituições y t = y   e   x t = x

→   C t = a ⋅ ln ⁡ y - b ⋅ y - d ⋅ x + c ⋅ ln ⁡ x

→ C ' t = a ⋅ y ' y - b ⋅ y ' - d ⋅ x ' + c ⋅ x ' x

→ C ' t = a y - b ⋅ y ' + c x - d ⋅ x '

Como atende ao sistema de presa-predador podemos substituir y ' = d y d t e x ' = d x d t e teremos

C ' t = a y - b ⋅ - c + d x ⋅ y + c x - d ⋅ a - b y ⋅ x

C ' t = a y - b ⋅ - c y + d x y + c x - d ⋅ a x - b x y

C ' t = - c a + b c y + a d x - b d x y + c a - a d x + b d x y

→ C ' t = 0 = c o n s t a n t e .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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