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Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g x existam.

Passo 1

Vamos fazer f x = H ( x ) e g x = 1 - H ( x ) , onde a função h x é definida por

H x = 0       s e   t < 0 1       s e   t ≥ 0

Passo 2

Vemos que ou f x ou g ( x ) é igual a 0 , para qualquer valor de x .

Assim, os limites lim x → 0 ⁡ f ( x ) e lim x → 0 ⁡ g ( x ) não existem.

Passo 3

Vamos agora analisar o limite

lim x → 0 ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ 0 = 0

Vemos que a multiplicação f x g x será 0 , como já vista no passo anterior, assim provamos que esse limite existe.

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lim x → ∞ ⁡ e - 2 x cos ⁡ x