Enunciado

Se p for um polinômio, moste que lim x → a ⁡ p ( x ) = p ( a )

Passo 1

Eaee, belezinha?? Queremos demonstrar o seguinte limite:

lim x → a ⁡ p ( x ) = p ( a )

Onde p é um polinômio.

Para isso, temos que saber o que é um polinômio!! Que é um somatório de potências de x multiplicadas por coeficientes constantes:

p x = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + · · · + a x n  

O que vamos fazer aqui é calcular o limite de p x :

lim x → a ⁡ p ( x ) = lim x → a ⁡ a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + · · · + a x n  

E pra isso precisamos de algumas propriedades dos limites:

  • Limite da soma é a soma dos limites
  • Limite do produto é o produto dos limites
  • Limite de constante é a própria constante

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

lim x → a ⁡ a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +   · · · + a x n  

Usando a propriedades da soma:

= l i m x → a   a 0 + l i m x → a   a ₁ x + lim x → a ⁡ a ₂ x ² +   · · ·   + lim x → a ⁡ a x n

E que o limite do produto é o produto dos limites:

= l i m x → a   a 0 + a 1 lim x → a ⁡ x + a 2 lim x → a ⁡ x 2 +   · · ·   + a lim x → a ⁡ x n

E o limite da constante:

= a ₀ + a ₁ lim x → a ⁡ x + a ₂ lim x → a ⁡ x ² +   · · ·   + a lim x → a ⁡ x n

E resolvendo o limite, temos que:

= a 0 + a 1 a + a 2 a 2 +   · · ·   + a a n

Que se você reparar é exatamente igual a p ( a ) .

p x = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + · · · + a x n  

p a = a 0 + a 1 a + a 2 a 2 + · · · + a a n = lim x → a ⁡ p ( x )

Assim, para qualquer polinômio p :

lim x → a ⁡ p ( x ) = p ( a )

Resposta

Demonstração

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Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite. lim x → 3 ⁡ ( x 2 + x - 4 ) = 8