Enunciado

Dado que

lim x → a ⁡ f x = 0 lim x → a ⁡ g x = 0 lim x → a ⁡ h x = 1

lim x → a ⁡ p x = ∞ lim x → a ⁡ q x = ∞

quais dos limites a seguir são formas inderterminadas? Para aqueles que não são formas inderterminadas, calcule o limite quando possível.

  1. lim x → a ⁡ f x g ( x )
  2. lim x → a ⁡ f x p ( x )
  3. lim x → a ⁡ h x p ( x )
  4. lim x → a ⁡ p x f ( x )
  5. lim x → a ⁡ p x q ( x )
  6. lim x → a ⁡ p x q x

Passo 1

E aeee, belezinha?? Bom... a questão nos dá cinco limites:

lim x → a ⁡ f x = 0 lim x → a ⁡ g x = 0 lim x → a ⁡ h x = 1

lim x → a ⁡ p x = ∞ lim x → a ⁡ q x = ∞

E queremos saber quais dos limites abaixo são formas indeterminadas:

  1. lim x → a ⁡ f x g ( x )
  2. lim x → a ⁡ f x p ( x )
  3. lim x → a ⁡ h x p ( x )
  4. lim x → a ⁡ p x f ( x )
  5. lim x → a ⁡ p x q ( x )
  6. lim x → a ⁡ p x q x

Mas o que são essas formas indeterminadas??? Bom, deixa eu citar algumas pra você:

0 0 , ∞ ∞ , 0 ∞ , 0 0 …

Caso um dos limites acima seja determinado, a questão pede para calcular o valor do limite.

E aí?? Bora lá??

Passo 2

  1. Vamos ver se há indeterminação:
  2. lim x → a ⁡ f x g ( x ) → 0 0

    Temos uma indeterminação da forma 0 0 .

    Passo 3

  3. Vamos ver se há indeterminação:
  4. lim x → a ⁡ f x p ( x ) → lim x → a ⁡ f x p x → 0 ∞

    Se y = f x p x , então ln ⁡ y = p x ln ⁡ f x .

    Quando x se aproxima de a , p x → ∞ e ln ⁡ f x → - ∞ , então ln ⁡ y → - ∞ .

    Portanto:

    lim x → a ⁡ f x p ( x ) = lim x → a ⁡ y = lim x → a ⁡ e ln ⁡ y = 0  

    Passo 4

  5. Vamos ver se há indeterminação:
  6. lim x → a ⁡ h x p ( x ) → 1 ∞

    Temos uma indeterminação da forma 1 ∞ .

    Passo 5

  7. Vamos ver se há indeterminação:
  8. lim x → a ⁡ p x f ( x ) → ∞ 0

    Temos uma indeterminação da forma ∞ 0 .

    Passo 6

  9. Vamos ver se há indeterminação:
  10. lim x → a ⁡ p x q ( x )

    Se y = p x q x , então ln ⁡ y = q x ln ⁡ p x .

    Quando x se aproxima de a , q x → ∞ e ln ⁡ p x → ∞ , então ln ⁡ y → ∞ .

    Portanto:

    lim x → a ⁡ p x q ( x ) = lim x → a ⁡ y = lim x → a ⁡ e ln ⁡ y = ∞  

    Passo 7

  11. Vamos ver se há indeterminação:

lim x → a ⁡ p x q x = lim x → a ⁡ p x 1 q x → ∞ 0

Temos uma indeterminação da forma ∞ 0 .

Entendeu direitinho?? Responde aee!!

Resposta

  1. lim x → a ⁡ f x g ( x ) é de forma indeterminado
  2. lim x → a ⁡ f x p ( x ) = 0
  3. lim x → a ⁡ h x p ( x ) é de forma indeterminado
  4. lim x → a ⁡ p x f ( x ) é de forma indeterminado
  5. lim x → a ⁡ p x q ( x ) = ∞
  6. lim x → a ⁡ p x q x é de forma indeterminado
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