Enunciado

Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g x existam.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos mostrar que o seguinte limite existe

lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x )

Mesmo que lim x → a ⁡ f ( x ) e lim x → a ⁡ g ( x ) não existam.

Essa atividade pede da gente um pouco de criatividade, pois precisamos pensar em duas funções que não existam, e quando duas funções não existem?

Quando seus limites laterais são diferentes ou quando elas vão ao infinito, e depois devemos pensar no produto dessas funções.

Aqui a estratégia é pensarmos em funções que os limites não existem, e pensar em uma forma de modificar a função a fim daquele limite exista, essa modificação vem a partir do produto entre essas funções.

Passo 2

Seja

f x = e 1 x

e

g x = e - 1 x

Note que:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = e - ∞ = 0

Pois aqui teremos a divisão do 1 por um número extremamente pequeno, perto de zero, mas menor que zero, o que faz com que a divisão ‘exploda’ para valores extremamente grandes negativos.

E

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = e ∞ = ∞

Onde ocorre algo semelhante, porém dessa vez temos um valor infinitesimamente maior que zero.

Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe.

Agora seja

lim x → 0 - ⁡ g ( x ) = e ∞ = ∞

E

lim x → 0 + ⁡ g ( x ) = e - ∞ = 0

O raciocino aqui é praticamente o mesmo do que tivemos com a função f ( x ) .

Como os limites laterais são diferentes, o limite também não existe.

Passo 3

Vamos agora analisar o produto da função:

f x ∙ g x = e 1 x ∙ e - 1 x

f x ∙ g ( x ) = e 0 = 1

Então temos que o nosso limite é:

lim x → 0 ⁡ f x ∙ g x = 1

O limite existe!! 😉 Veja que conseguimos resolver o problema da função com um produto, como eu comentei no nosso passo 1, aqui a não existe um pensamento único, a gente precisa tentar manipular a partir do que a gente precisa ter como resultado final.

Resposta

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Formule precisamente a definição de lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞ . Então, use sua definição para demonstrar que lim x → - ∞ ⁡ ( 1 + x 3 ) = - ∞
Dado que lim x → a ⁡ f x = 0 lim x → a ⁡ g x = 0 lim x → a ⁡ h x = 1 lim x → a ⁡ p x = ∞ lim x → a ⁡ q x = ∞ quais dos limites a seguir são formas inderterminadas? Para aqueles que não são formas inde
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