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Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ⁡ f x + g ( x ) pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.

Passo 1

Vamos definir que

f x = x

e

g x = - x

Passo 2

Agora vamos calcular os limites

lim x → 3 ⁡ x e lim x → 3 ⁡ - x

Calculando pela direita e pela esquerda:

lim x → 3 + ⁡ x = lim x → 3 + ⁡ 3 = 3  

lim x → 3 - ⁡ x = lim x → 3 - ⁡ 2 = 2  

Assim,

lim x → 3 ⁡ x não existe

Da mesma forma calculamos para lim x → 3 ⁡ - x .

Passo 3

Pela direita e pela esquerda:

lim x → 3 + - ⁡ x = lim x → 3 + ⁡ - 3 = - 3  

lim x → 3 - ⁡ - x = lim x → 3 - ⁡ - 2 = - 2  

Assim,

lim x → 3 ⁡ - x não existe

Passo 4

Passo 5

Agora vamos calcular

lim x → 3 ⁡ f x + g ( x ) = lim x → 3 ⁡ x - x = lim x → 3 ⁡ 0 = 0

Pronto, provamos que existe!!

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