Enunciado

Mostre que a projeção sobre o plano x y da curva de interseção das superfícies z = 1 - x 2 e z = x 2 + y 2 é uma elipse.

Sugestão: o que significa geometricamente eliminar z dessas equações?

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

O primeiro detalhe a ser analisado é o fato de querermos a projeção sobre o plano x y . Se queremos achar a projeção sobre esse plano, isso significa que as equações das superfícies não possuem coordenada z . Esta seria a ideia contida na sugestão para eliminar z das equações.

Além disso, a interseção das superfícies se dá igualando uma das variáveis que esteja presente nas equações em questão.

Por fim, só lembrar que a equação da elipse tem a forma:

x 2 a + y 2 b = 1

Passo 2

Então, como queremos eliminar z das equações e a variável já está isolada em cada uma delas, vamos igualar diretamente:

1 - x 2 = x 2 + y 2

Isso nos dá:

2 x 2 + y 2 = 1

Se reescrevermos essa equação como:

x 2 1 / 2 + y 2 = 1

Podemos perceber que ela tem a mesma forma da equação da elipse.

Resposta

x 2 1 / 2 + y 2 = 1

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