Enunciado

Mostre que a sequência definida por

a 1 = 1 ,           a n + 1 = 3 - 1 a n

é crescente e que a n < 3 para todo n . Deduza que a n é convergente e calcule seu limite.

Passo 1

E aê, galera? Tudo certinho? Nessa questão queremos mostrar que a sequência do enunciado é crescente e que a n < 3 para todo n , certo? Depois a questão pede para deduzirmos que a n é convergente e calcularmos seu limite.

Ou seja, vamos ter os seguintes passos:

  1. Mostrar que a sequência do enunciado é crescente e que a n < 3 para todo n
  2. Deduzir que a n é convergente;
  3. Calcularmos seu limite.

Bora lá então?

Passo 2

Primeiro vamos provar que a sequência é crescente, usando indução. MAS O QUE É ISSO??

A ideia é provar que a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural (no caso, n = 1 ) e, em seguida, assumir que é verdadeira para um número k   qualquer e provar que ela é verdadeira para k + 1 . Com isso, concluímos que a afirmação é verdadeira para todos os números naturais. Sacou?

Então vamos lá! A afirmação que queremos provar é que a n + 1 > a n , para todo n ≥ 1 . Então, primeiro, vamos verificar se vale pra n = 1 , beleza?

Para n = 1 :

a 2 = 3 - 1 a 1 = 3 - 1 1 = 2 > a 1

Então a afirmação vale para n = 1 ! Lindo lindo?!

Agora, a gente supõe que vale para n = k :

a k + 1 > a k

Se a partir dessa suposição, a gente conseguir provar que vale para n = k + 1 , ou seja, que a k + 1 + 1 > a k + 1 , então completamos a indução, show de bola?

a k + 1 + 1 = 3 - 1 a k + 1

Usando a hipótese   a k + 1 > a k :

1 a k + 1 < 1 a k

- 1 a k + 1 > - 1 a k

3 - 1 a k + 1 > 3 - 1 a k

a k + 1 + 1 > a k + 1

Então acabamos de provar por indução que a sequência é crescente!

Passo 3

Show! Agora também usaremos indução pra provar que a n < 3 . Como a 1 = 1 < 3 , a afirmação já vale pra n = 1 , né?

Agora, vamos supor que vale pra n = k :

a k < 3

Será que vale pra n = k + 1 ?

1 a k > 1 3

- 1 a k < - 1 3

3 - 1 a k < 3 - 1 3

a k + 1 < 3 - 1 3 < 3

Sim, vale! Então está provado.

Passo 4

Agora queremos deduzir que a sequência é convergente.

Já provamos que a sequência é crescente e que é limitada superiormente por 3 . Como ela está sempre crescendo, o primeiro termo a 1 é quem a limita inferiormente. Sendo assim, podemos dizer que ela é limitada, certo?

Existe um teorema (Teorema da Sequência Monótona) que nos diz que toda sequência monótona (crescente ou decrescente) e limitada é convergente, ou seja, tem um limite. Como já dito, nossa sequência satisfaz as condições do Teorema, pois é monótona (crescente) e limitada. Então, isso mostra que a n é convergente, ok?

Passo 5

Agora falta calcularmos o limite da sequência. Pra isso, podemos tomar o limite no infinito dos dois lados da equação que mostra a relação de recorrência entre os termos da sequência:

a n + 1 = 3 - 1 a n

Tomando os limites, temos

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = l i m n → ∞   3 - 1 a n

Lembrando que podemos usar o seguinte fato para sequências convergentes:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = lim n → ∞ ⁡ a n

Assim,

lim n → ∞ ⁡ a n = l i m n → ∞   3 - 1 a n

Usando a propriedade de continuidade:

lim n → ∞ ⁡ a n = 3 - 1 lim n → ∞ ⁡ a n

Pra ficar mais intuitivo de resolver essa equação, vamos chamar o limite de L , beleza?

L = 3 - 1 L

L 2 = 3 L - 1

L 2 - 3 L + 1 = 0

L = 3 ± 5 2

L + ≈ 2,618       e       L - ≈ 0,381

Como o primeiro termo da sequência é a 1 = 1 e a sequência é crescente, o limite jamais poderia ser menor do que 1 , então eliminamos a raiz L -   ,   o que nos dá:

lim n → ∞ ⁡ a n = 3 + 5 2

Resposta

lim n → ∞ ⁡ a n = 3 + 5 2

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