Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 115
Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.
115.
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo tranquilo? Ótimo, vem comigo para mais uma questão!
Para verificar se essa sequência converge vamos usar o Teorema 6, ou seja, se a sequência for monotônica e limitada, então ela converge. Logo, é isso que temos que testar. Vamos começar verificando se a função é limitada. Nós temos
Com isso, nós conseguimos mostrar que a função é limitada tanto superior quanto inferiormente.
Passo 2
Agora vamos testar a monotonicidade. Temos
e
Então, tomando a diferença entre e :
Logo, podemos concluir que a sequência é crescente, ou seja, monotônica. Como ela também é limitada, segue do Teorema 6 que ela converge.
Resposta
Converge
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Sejam a e b números positivos com ab . Seja a 1 sua média aritmética e b 1 sua média geométrica: a 1 = a + b 2 b 1 = a b Repita esse procedimento de modo que, em geral, a n + 1 = a n + b n 2 b n + 1 =
Mostre que a sequência definida por a 1 = 2 ,a n + 1 = 1 3 - a n satisfaz 0a n ≤ 2 e é decrescente. Deduza que a sequência é convergente e encontre seu limite.
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = n e - n
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = n n 2 + 1
Mostre que a sequência definida por a 1 = 1 ,a n + 1 = 3 - 1 a n é crescente e que a n3 para todo n . Deduza que a n é convergente e calcule seu limite.