Enunciado

Teoria e exemplos: Nos Exercícios 111-114, determine se a sequência é monotônica e se é limitada.

111. a n =   3 n   +   1 n   +   1

Passo 1

Fala, galerinha! Essa questão pede pra gente mostrar se a sequência é monotônica e se é limitada. Para mostrar que é monotônica, temos que mostrar que ela é crescente ou decrescente. Para mostrar que é limitada, temos que mostrar que ela é limitada superiormente e inferiormente. Vamos lá!

Vamos começar mostrando que a sequência é limitada inferiormente. Para isso, temos que notar que

n < 3 n ⇒ n + 1 < 3 n + 1

⇒ 1 < 3 n + 1 n + 1 = a n

⇒ a n >   1

Passo 2

Para mostrar que a sequência é limitada superiormente, temos que notar que

3 n + 1 < 3 n + 3 = 3 ( n + 1 )

Dividindo ambos os lados por n + 1 , obtemos

a n =   3 n   +   1 n   +   1 < 3

⇒ a n < 3

Passo 3

Beleza, agora só temos que mostrar que a função é crescente.

Temos que o termo a n + 1 é da seguinte forma:

a n + 1 =   3 ( n + 1 )   +   1 ( n + 1 )   +   1 =   3 n   +   4 n + 2

Agora, vamos tomar a diferença de a n + 1 com a n e verificar se será maior que 0 :

a n + 1 - a n = 3 n +   4 n + 2 - 3 n   +   1 n   +   1 = ( 3 n +   4 ) ( n + 1 ) - ( 3 n   +   1 ) ( n + 2 ) ( n + 2 ) n   +   1

⇒ a n + 1 - a n = 3 n 2 +   4 n   +   3 n   +   4   -   ( 3 n 2   +   n   +   6 n   +   2 ) ( n + 2 ) n   +   1

⇒ a n + 1 - a n =   2 ( n + 2 ) n   +   1 > 0

⇒ a n + 1 - a n + a n > a n

⇒ a n + 1 > a n

Ou seja, a sequência é crescente.

Resposta

Monotônica, limitada.

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