Enunciado

Teste a série para convergência ou divergência.

8-

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n 4 n 2 + 1

Passo 1

Então pessoal, a sequência que devemos analisar para utilizar o teste da sequência alternada:

b n = 2 n 4 n 2 + 1

E como 4 n 2 + 1 > 2 n e 4 n 2 + 1 cresce mais rápido que 2 n (pela suas derivadas), em todo o intervalo indo de 1 até infinito, logo podemos dizer que essa sequência é sim decrescente.

Passo 2

Agora para o limite de n tendendo a infinito temos:

lim n → ∞ ⁡ 2 n 4 n 2 + 1

Se dividirmos o numerador e o denominador por n 2 teremos uma visualização melhor desse limite (poderia utilizar L’Hopital também).

lim n → ∞ ⁡ 2 n 4 + 1 / n 2 = 0 4 = 0  

Como os dois critérios passaram logo a série alternada é convergente. Vamos para a próxima!

Resposta

Série convergente.

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