Enunciado

Mostre que a série ∑ - 1 n - 1 b n , onde b n = 1 n se n for ímpar e 1 n 2 se n for par, é divergente. Por que o Teste da Série Alternada não se aplica?

Passo 1

Beleza, pessoal? Temos que mostrar que essa série é divergente. Quando n é ímpar, perceba que os termos da série são positivos, e quando n é par, os termos são negativos:

∑ - 1 n - 1 b n = 1 1 - 1 2 2 + 1 3 - 1 4 2 + 1 5 - 1 6 2 + …

Vamos reescrever assim então:

∑ - 1 n - 1 b n = 1 1 + 1 3 + 1 5 + … - 1 2 2 + 1 4 2 + 1 6 2 + …

∑ - 1 n - 1 b n = ∑ 1 2 n - 1 - ∑ 1 2 n 2

Passo 2

Agora vamos analisar a convergência de cada série. A série ∑ 1 2 n - 1 diverge pelo Teste da Comparação, pois:

∑ 1 2 n - 1 > ∑ 1 2 n = ∞

Já a série ∑ 1 2 n 2 converge, pois:

∑ 1 2 n 2 = ∑ 1 4 n 2 = 1 4 ∑ 1 n 2 < ∞

Passo 3

Show! Sabendo sobre a convergência das séries, vemos que ∑ - 1 n - 1 b n é a subtração entre uma série divergente e uma série convergente. É como se estivéssemos subtraindo um número finito de um número infinito, então ele continua infinito. Logo, mostramos que a série é divergente.

E lembre-se que aqui não podemos aplicar o Teste da Série Alternada, pois b n não é finalmente decrescente, sempre está crescendo e decrescendo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n sen ⁡ π n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 ln ⁡ n + 4
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 2 n
(a) O que é uma série alternada? (b) Sob que condições uma série alternada converge? (c) Se essas condições forem satisfeitas, o que você pode dizer sobre o resto depois de n termos?
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n