Enunciado

Mostre que

∬ ∂ 2 f ( x , y ) ∂ x ∂ y d x d y

Sobre o retângulo x 0 ≤ x ≤ x 1 ,   y 0 ≤ y ≤ y 1   , é

f x 1 , y 1 - f x 0 , y 1 - f x 1 , y 0 + f ( x 0 , y 0 )

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Para montar a integral dupla dada sobre o retângulo e os conjuntos de funções dadas vamos ter que,

∫ y 0 y 1 ∫ x 0 x 1 ∂ 2 f ( x , y ) ∂ x ∂ y d x d y = ∫ y 0 y 1 ∂ f x , y ∂ y x 0 x 1 d y = ∫ y 0 y 1 ∂ f x , y ∂ y - ∂ f x 0 , y ∂ y d x = f x 1 , y - f x 0 , y y 0 y 1 = f x 1 , y 1 - f x 0 , y 1 - f x 1 , y 0 + f ( x 0 , y 0 )

Resposta

∫ y 0 y 1 ∫ x 0 x 1 ∂ 2 f ( x , y ) ∂ x ∂ y d x d y = ∫ y 0 y 1 ∂ f x , y ∂ y x 0 x 1 d y = ∫ y 0 y 1 ∂ f x , y ∂ y - ∂ f x 0 , y ∂ y d x = f x 1 , y - f x 0 , y y 0 y 1 = f x 1 , y 1 - f x 0 , y 1 - f x 1 , y 0 + f ( x 0 , y 0 )

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