Enunciado

Use o resultado do Exercício 17 para mostrar que

0 ≤ ∬ R   s e n   π x cos ⁡ π y d A ≤ 1 32

onde R = 0 , 1 4 × 1 4 , 1 2 .

Passo 1

Opa, tudo certinho?

Vamos fazer a seguinte integral:

∬ R   s e n   π x cos ⁡ π y d A

Onde d A = d x d y e os intervalos de integração são

0 < x < 1 4

1 4 < y < 1 2

Então a nossa integral fica

∫ 0 1 / 4 ∫ 1 / 4 1 / 2 s e n π x cos ⁡ π y d x d y

Aí, podemos nesse caso dividir a nossa integral dupla num produto de integrais

∫ 0 1 / 4 s e n π x d x ∫ 1 / 4 1 / 2 cos ⁡ π y d y

Show! Agora é só partir pro abraço! \o/

Passo 2

Fazendos as duas integrais vamos ter

- cos ⁡ π x π 0 1 / 4 × s e n π y π 1 / 4 1 / 2 = 1 π 2 - cos ⁡ π 4 + cos ⁡ 0 × s e n π 2 - s e n π 4

= 1 π 2 - 2 2 + 1 1 - 2 2 = 1 π 2 1 - 2 2

Jogando esse valor na calculadora

≈ 0,029

E isso é menor que 1 32 ≈ 0,031 e maior que 0 :D

Então mostramos que

0 ≤ ∬ R   s e n   π x cos ⁡ π y d A ≤ 1 32

Resposta

Demonstração acima

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

4. Calcular ∬ R ( x + 4 ) d x d y , onde R é o retângulo 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 6 . Interpretar geometricamente.
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :e) 1
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :d) 1 x + y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :f) x cos ⁡ x y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :g) y cos ⁡ x y