Enunciado

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes).

d 2 y d x 2 - 4 d y d x + 4 y = 0 ;       y = e 2 x + x e 2 x

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, a gente quer saber se   y = e 2 x + x e 2 x   é solução da equação d 2 y d x 2 - 4 d y d x + 4 y = 0     . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

Já temos y , vamos descobrir d y d x e   d 2 y d x 2 . Vamos derivar então! Vem comigo!

Passo 2

y = e 2 x + x e 2 x  

Derivando:

d y d x = 2 e 2 x + e 2 x + 2 x e 2 x

d y d x = 3 e 2 x + 2 x e 2 x

Show! Agora a gente deriva de novo pra encontrar d 2 y d x 2 :

d 2 y d x 2 = 6 e 2 x + 2 e 2 x + 4 x e 2 x  

d 2 y d x 2 = 8 e 2 x + 4 x e 2 x

Beleza! Agora vamos substituir isso tudo na equação!

Passo 3

Substituindo aqui:

d 2 y d x 2 - 4 d y d x + 4 y = 0

8 e 2 x + 4 x e 2 x - 4 3 e 2 x + 2 x e 2 x + 4 e 2 x + x e 2 x   = 0

8 e 2 x + 4 x e 2 x - 12 e 3 x - 8 x e 2 x + 4 e 2 x + 4 x e 2 x = 0

0 = 0

Beleza! Encontramos uma igualdade verdadeira, então a função é solução! 😉

Resposta

É solução.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região. d y d x = x 3 . cos ⁡ y
Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região. 4 - y 2 . y ' = x ² ²
Explique por que y = tan ⁡ x é uma solução para o problema de valor inicial da parte c no intervalo ( - 1,1 ) .
Considere a equação diferencial d y d x = 1 + y ² ²Determine uma região do plano x y tal que a equação tenha uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) da região.
Formalmente, mostre que y = tan ⁡ x satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y 0 = 0 .