Enunciado

Mostre que nem o teste da razão nem o teste da raiz fornecem informações a respeito da convergência de

∑ n = 2 ∞ 1 ( ln ⁡ n ) p             ( p   c o n s t a n t e )

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar o termo geral da nossa sequência, dado por:

a n = 1 ( ln ⁡ n ) p

E o seu termo consecutivo,

a n + 1 = 1 ( ln ⁡ ( n + 1 ) ) p

Vamos aplicar o teste da razão para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

lim n →  ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n →  ∞ ⁡ 1 ( ln ⁡ ( n + 1 ) ) p ∙ ( ln ⁡ n ) p 1 = lim n →  ∞ ⁡ ( ln ⁡ n ) p ( ln ⁡ ( n + 1 ) ) p

Simplificando os termos, e pelas propriedades de limites, obtemos:

lim n →  ∞ ⁡ ( ln ⁡ n ) p ( ln ⁡ ( n + 1 ) ) p = l i m n →   ∞ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) p

Aplicando a regra de L’Hospital, temos:

l i m n →   ∞ 1 n 1 n + 1 p = l i m n →   ∞ n + 1 n p   =   1 p = 1

De acordo com o teste da razão, se o limite é maior ou igual a 1 a série diverge.

Vamos aplicar o teste da raiz para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

lim n →  ∞ ⁡ a n n = lim n →  ∞ ⁡ 1 ( ln ⁡ n ) p n =   lim n →  ∞ ⁡ 1 ( ln ⁡ n ) p n = 1  

Quando n tende ao infinito p n tende a zero, logo ( ln ⁡ n ) p n tende para 1.

De acordo com o teste da raiz, se o limite é maior ou igual a 1 a série diverge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Diverge em ambos os testes da razão e da raiz.

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