Enunciado

Mostre que todas as soluções do sistema

x ' = a b c d x

tendem a zero quando t → ∞ se, e somente se,   a   +   d   <   0 e a d   –   b c   >   0 . Compare esse resultado com o do Problema 37 na Seção 3.4.

Passo 1

Para determinar toda as soluções do sistema temos que determinar os autovalores:

Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = a b c d - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = a - r b c d - r

det ⁡ A - r I = r 2 - ( a + d ) r + ( a d - b c )

Tendo as raízes:

r 1,2 = a + d ± a + d 2 - 4 a d - b c 2 = a + d ± a - d 2 + 4 b c 2

Passo 2

Nós desejamos todos o autovalores que possuem parte real negativa, e isso irá nos dará certeza que a todas as soluções serão próximas de zero, pois teríamos os termo na forma de e α t , onde α é parte real da inequação.

Mas para isto ser possível temos que ter a + d < 0 , com isto teríamos certeza que mesmo tendo uma parte imaginária, ela também seria próxima a zero.

Certo, agora queremos ter certeza só teremos a parte real do autovalores, para isto os dois autovalores tem que ser negativos, tendo a seguinte inequação:

a + d < a - d 2 + 4 b c

Lembre-se da nossa condição a + d < 0 , quando calcularmos o quadrante da inequação teremos o seguinte:

a + d < a - d 2 + 4 b c ⇔   a 2 + 2 a d + d 2 > a 2 - 2 a d - d 2 + 4 b c ⇔   a d - b c > 0

Que é nossa solução a d - b c > 0

Resposta

a d - b c > 0

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Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eqs.(22) no texto. Suponha que m 1=m 2=1 ,k 1=k 2=k 3=1 .(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações
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