dy/dx = x / (x^2 \* y + y^3)

Sugestão: Seja u = x^2

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro verificar se nossa solução é dita exata. Para isso vamos primeiro reescrever a nossa equação e tentar usar a relação do passo 1.

x   d x + x 2 y + y 3 d y = 0

O que nos da que

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y = 2 y x

Onde

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y M = 2 y = Q ( y )

Então podemos supor que nosso fator integrante será

μ y = exp ⁡ ∫ 2 y   d y = e y 2

Assim temos

x e y 2 d x + e y 2 x 2 y + y 3 d y = 0

Agora temos uma função exata.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função ϕ ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

∂ ϕ ∂ x = x e y 2

E

∂ ϕ ∂ y = e y 2 x 2 y + y 3

Assim temos que

ϕ = ∫ x e y 2 d x = x 2 2 e y 2 + C ( y )

Agora se derivarmos nosso ϕ deveríamos encontrar e y 2 x 2 y + y 3   como sugere nossa equação diferencial.

∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y x 2 2 e y 2 + C ( y ) = x 2 y e y 2 + C ' y = e y 2 x 2 y + y 3

Desta forma temos que C ' y = e y 2 y 3 . Usando duas substituição, uma por y 3 = u e depois v = u 2 / 3 , chegamos em

C ( y ) = 1 2 e y 2 y 2 - e y 2 + C

ϕ x , y = x 2 2 e y 2 1 2 e y 2 y 2 - e y 2 + C = 0

Resposta

x 2 2 e y 2 1 2 e y 2 y 2 - e y 2 + C = 0

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