Livros Resolvidos Passo a Passo
Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 1 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 2.3 - 3a

Mostre que para todo x , com cos ⁡ x 2 ≠ 0 , tem-se:

sen ⁡ x = 2   tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2

Passo 1

Sabemos que tg 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x

Assim:

2   tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = 2   tg ⁡ x 2 sec 2 ⁡ x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se tg ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x e sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x então:

2   tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = 2   sen ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 1 cos ⁡ x 2   2

2   tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = 2   sen ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 1   2

2   tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = 2   sen ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 1  

2   tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = 2   sen ⁡ x 2 cos ⁡ x 2

2   tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = sen ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 + sen ⁡ x 2 cos ⁡ x 2

Passo 3

Temos a relação do seno da soma que nos diz que

sen ⁡ a + b = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a

Tomando a = b = x 2 :

2   tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = sen ⁡ x 2 + x 2

2   tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = sen ⁡ x

Assim, mostramos que

sen ⁡ x = 2   tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2

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