Responde Aí

Enunciado

Mostre que, se y 1 for uma solução para 4 , então a substituição y = y 1 + u em 4 implica 5 .

Passo 1

A solução 4 que o enunciado se refere diz respeito à equação de Ricatti, saca só:

d y d x = P x + Q x y + R x y 2

O que o enunciado quer que provemos é o seguinte: se fizermos y = y 1 + u na equação de Ricatti, então devemos chegar na solução 5 , que é:

d u d x - Q + 2 y 1 R u = R u 2

É uma questão de pura manipulação algébrica, galera. Então bora lá!

Passo 2

Substituindo na equação de Ricatti, teremos:

d y d x = P + Q y 1 + u + R y 1 + u 2

Simplificando:

d y d x = P + Q y 1 + Q u + R y 1 2 + 2 y 1 u + u 2

d y d x = P + Q y 1 + Q u + R y 1 2 + 2 R y 1 u + R u 2

d y d x = P + Q y 1 + R y 1 2 + Q u + 2 y 1 R u + R u 2

∴ d y d x = d y 1 d x + d u d x

Que é exatamente aonde queríamos chegar! Sendo assim, y 1 realmente é solução!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que 8 é uma solução para 7 . Sugestão: Derive ambos a
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obt
Quando R x = - 1 , a equação de Ricatti pode ser escrita com
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obt
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obt