Enunciado

Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.

22. y = x + 4 y ' + y ' 2

Passo 1

Então galera, o que é uma equação de Clairaut para começo de conversa? Uma equação diferencial desse tipo tem o seguinte formato;

y = x y ' + f y '

Ou, na notação de Leibniz:

y = x . d y d x + f d y d x

Assim a variável fica explícita. O que vamos fazer quando tivermos uma equação de Clairaut é uma substituição do tipo:

p = d y d x

E aí todo o resto vai se desenrolar! Vamos ver como isso funciona na prática. Vem comigo!

Passo 2

Nossa equação é:

y = x + 4 y ' + y ' 2

Ou melhor:

y = x + 4 . d y d x + d y d x 2

Fazendo p = d y d x , teremos:

y = x + 4 . p + p 2

Derivando, teremos:

d y d x = 1 . p + x + 4 . d p d x + 2 p . d p d x

d y d x = p + d p d x x + 4 + 2 p

Logo:

p = p + d p d x x + 4 + 2 p

Simplificando, teremos:

d p d x x + 4 + 2 p = 0

Show!

Passo 3

Note que chegamos em um produto interessante! Temos duas possibilidades:

d p d x = 0

Ou:

x + 4 + 2 p = 0

Para a primeira possibilidade, teremos:

p = ∫ 0 d x

p = c

Sendo assim, nossa solução geral será:

y = x + 4 . p + p 2

∴ y = x + 4 c + c 2

Perfeito!

Passo 4

A princípio nosso problema foi resolvido, não é mesmo? No entanto ainda temos a segunda possibilidade. Sendo assim, teremos:

x + 4 = - 2 p y = x + 4 . p + p 2

Substituindo a primeira equação na segunda, teremos:

y = x + 4 . x + 4 - 2 + x + 4 - 2 2

y = - x + 4 2 2 + x + 4 2 4

∴ y = - x + 4 2 4

E essa é a solução singular que o enunciado pede!

Resposta

Solução geral: y = x + 4 c + c 2

Solução singular: y = - x + 4 2 4

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