Enunciado

Movimento ao longo de uma parábola Uma partícula se desloca ao longo da parábola y = x 2 no primeiro quadrante, de modo que sua coordenada x (medida em metros) aumenta a uma taxa constante de 10 m/s. Qual a taxa de variação do ângulo de inclinação e da reta que liga a partícula à origem quando x = 3 m?

Passo 1

Fazer um desenho do que está sendo dito não é uma má ideia.

É dito na questão que: d x d t = 10 m s

Passo 2

Uma forma de se calcular o ângulo nessa questão é fazer pela tangente

t g   θ = y x

Já que são os dois únicos parâmetros dados da questão, a distância ponto origem poderia até ser utilizada mas não seria muito prático.

Uma dica seria substituir y por x 2 ,já que é o valor da questão!

O que nos deixa com :

t g θ = x

Passo 3

Agora precisamos derivar essa equação, para podermos achar a variação em relação a x:

Porém se lembra com deriva tangente ? Aqui vai:

t g   θ ' = s i n c o s ' = s i n ' c o s - sin ⁡ c o s ' c o s 2 = 1 cos 2 ⁡ θ    

Então ficamos com:

1 cos 2 ⁡ θ d θ d t = d x d t

Só precisamos calcular o c o s θ para conseguir resolver a equação :

Para isso precisamos calcular a hipotenusa formada pelos catetos 3 e 9, por Pitágoras tranquilamente encontramos 90 .

Logo:

cos ⁡ θ = 3 90

Substituindo os valores temos:

1 3 90 2 d θ d t = 10 m s  

Resposta

d θ d t = 1 r a d s

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