Enunciado

Nesse problema, indicamos um modo de mostrar que, se r = r1 é uma raiz de multiplicidade s do polinômio característico Z(r), então e^r1t, te^r1t, . . . t^(s—1)e^r1t são soluções da Eq. (1). Esse problema estende para equações de ordem n o método para equações de segunda ordem dado no Problema 22 da Seção 3.4. Começamos da Eq. (2) no texto

e diferenciamos repetidas vezes em relação a r, fazendo r = r1 depois de cada diferenciação.

Note que, se r1 for uma raiz de multiplicidade s, então Z(r) = (r – r1)^s q(r), em que q(r) é um polinômio de grau n – s e q(r1) ≠ 0. Mostre que Z(r1), Z′(r1), . . . , Z^(s–1) (r1) são todos nulos, mas Z^(s) (r1) ≠ 0.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser considerar a equação dada no nosso enunciado para r= r1

Z r 1 = r 1 - r 1 s q r 1

Só falta fazermos a derivada!!

Z ' r = s r - r 1 s - 1 q r + r - r 1 s q ' r

Z ' r 1 =   0

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

Se seguirmos essa linha de raciocínio para todos os coeficientes, teremos:

Z s r = s ! q r + o s   t e r m o s   c o m   r - r 1

Aplicando r=r1, teremos:

Z s r 1 = s ! q r 1 ≠ 0

Resposta

Z s r 1 = s ! q r 1 ≠ 0

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