Enunciado

Neste problema aplicamos um modelo de administração com produção constante na situação no Exemplo 1. Considere o sistema

x ' = x 1 - 0,5 y - H 1 , y ' = y ( - 0,75 + 0,25 x ) - H 2

Em que H 1 e H 2 são constantes nõ negativas. Lembre-se de que, se H 1 = H 2 = 0 , então ( 3,2 ) será uma solução de equilíbrio para o sistema.

(a) Antes de fazer qualquer análise matemática, pense sobre a situação intuitivamente. Como você acha que as populações irão variar se as presas forem administradas? E se só os predadores forem administrados? E se ambos forem administrados?

(b) Como varia a solução de equilíbrio se as presas forem administradas, mas os predadores não ( H 1 > 0 ,   H 2 = 0 ) ?

(c) Como varia a solução de equilíbrio, se os predadores forem administrados, mas as presas não ( H 1 = 0 ,   H 2 > 0 ) ?

(d) Como varia a solução de equilíbrio, se ambos forem administrados ( H 1 > 0 ,   H 2 > 0 ) ?

Passo 1

Nosso primeiro passo é pensar em como as populações de presa e predador são alteradas com a administração com esforço constante. Se apenas as presas forem administradas, esperamos que a população de presas se mantenha constante, certo? Para manter o mesmo número de presas, teremos que diminuir a população de predadores. Concordamos até aqui? Legal.

Da mesma forma, se administrarmos uma população de predadores, devemos manter a quantidade de predadores e, para isso, precisamos de uma maior população de presas. Tudo bem?

Se administrarmos as duas populações temos que pensar que, para manter a população de presas diminuíremos a população de predadores. E, para manter os predadores, aumentamos a população de presas. Então, continuando o raciocínio, o esperado é que a população de presas cresça e a de predadores diminua mais se ambas populações forem administradas.

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Neste item, consideramos que apenas as presas serão administradas ( H 1 > 0 ,   H 2 = 0 ) e, vamos encontrar a nova condição de equilíbrio. Para isso, vamos igualar as derivadas de cada população a zero:

y ' = y - 0,75 + 0,25 x = 0

- 0,75 + 0,25 x = 0

x = 0,75 0,25 = 3

E

x ' = x 1 - 0,5 y - H 1 = 0

3 1 - 0,5 y = H 1

1 - 0,5 y = H 1 3

0,5 y = 1 - H 1 3

y = 1 - H 1 3 0,5 = 2 - 2 3 H 1

Então, a nova condição de equilíbrio será 3 ,   2 - 2 3 H 1 . Como podemos ver, a população de presas se manteve e, a de predadores diminuiu, assim como pensamos que iria ocorrer.

Vamos agora para o item (c), em que apenas os predadores são administrados ( H 1 = 0 ,   H 2 > 0 ) . Assim como fizemos no item (b), vamos definir as novas condições de equilíbrio:

x ' = x 1 - 0,5 y = 0

1 - 0,5 y = 0

y = 1 0,5 = 2

E

y ' = y - 0,75 + 0,25 x - H 2 = 0

2 - 0,75 + 0,25 x - H 2 = 0

- 0,75 + 0,25 x = H 2 2

0,25 x = H 2 2 + 0,75

x = 2 H 2 + 3

Então, a nova solução de equilíbrio para a condição de administração com esforço constante dos predadores é 2 H 2 + 3 , 2 . Então, a população de presas será superior à da condição sem administração, e a de predadores se mantém constante.

Passo 3

O item (d) nos pede para avaliar a condição em que as duas populações são administradas ( E 1 > 0 ,   E 2 > 0 ) . Para esta situação, o ponto de equilíbrio será:

x ' = x 1 - 0,5 y - H 1 = 0

3 1 - 0,5 y = H 1

1 - 0,5 y = H 1 3

0,5 y = 1 - H 1 3

y = 1 - H 1 3 0,5 = 2 - 2 3 H 1

E

y ' = y - 0,75 + 0,25 x - H 2 = 0

2 - 2 3 H 1 - 0,75 + 0,25 x - H 2 = 0

- 1 , 5 + 0 , 5 x + H 1 2 - 1 6 H 1 x = H 2

- 1,5 + H 1 2 + 0,5 - 1 6 H 1 x = H 2

0,5 - 1 6 H 1 x = H 2 + 1,5 - H 1 2

x = H 2 + 1,5 - H 1 2 0,5 - 1 6 H 1 = 2 H 2 + 3 - H 1 1 - 1 3 H 1

Então, se ambas populações são administradas, o novo equilíbrio é 2 H 2 + 3 - H 1 1 - 1 3 H 1 ,   2 - 2 3 H 1 . E, podemos ver que a população de presas aumentará e, a de predadores diminui.

Resposta

(b) A população de presas se mantém e a de predadores diminui.

(c) A população de predadores se mantém e a de presas aumenta.

(d) A população de presas aumenta e a de predadores diminui.

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