Expresse o número complexo dado na forma R(cos theta + i sen theta) = R e^(i theta) .

-1-i

Passo 1

O exercício nos fornece um número complexo a = - 1 - i e nos pede para escrevê-lo nas formas R cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ = R e i θ . Porém antes de fazer isto, vamos rever a importância dessa operação.

Se temos uma equação diferencial homogênea da forma y ( n ) + a 1 y n - 1 + … + a n y = 0

Suas soluções devem ser algo como y 1 = e r 1 t , y 2 = e r 2 t ,..., y n = e r n t , com r 1 ,   r 2 … r n sendo as raízes de uma equação polinomial de ordem n . Tudo bem até aqui?

Se a equação possuir raízes complexas, então teremos soluções da forma y m = e λ + i t .

De acordo com a fórmula de Euler podemos expressar uma função e λ + i θ de uma forma mais conveniente como:

R e λ + i θ = e λ θ R cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ ,

Em que R é o módulo do número e θ é o ângulo polar.

Assim, o exercício nos pede para treinar esta conversão de uma exponencial complexa para as funções seno e cosseno equivalentes. Vamos lá???

Passo 2

Temos então a seguinte raiz complexa:

a = - 1 - i

Se esta é a raiz da equação, então a função solução é:

y = R e a θ

y = R e - 1 - i θ

Agora que já encontramos a exponencial vamos calcular o módulo do número. Ele é definido por:

R = a r 2 + a i 2

Em que a r é o coeficiente real e a i é a coordenada imaginária. Neste caso, a r = - 1 e a i = - 1 . Então:

R = ( - 1 ) 2 + ( - 1 ) 2

R = 2

Vamos agora determinar o ângulo polar. Para isso, usaremos a relação:

tan ⁡ θ = a i a r

tan ⁡ θ = - 1 - 1 = 1

θ = 5 π 4 + 2 m π

Passo 3

Iremos agora aplicar a fórmula de Euler na equação:

y = R e λ + i θ = R e λ θ e i θ

R e λ θ e i θ = R e λ θ ( cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ )

R e i θ = R ( cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ )

2 e i 5 π 4 + 2 m π = 2 cos ⁡ 5 π 4 + 2 m π + i sen ⁡ 5 π 4 + 2 m π

2 e i 5 π 4 + 2 m π = 2 cos ⁡ 5 π 4 + i sen ⁡ 5 π 4

Resposta

O número complexo - 1 - i pode ser escrito como 2 e i 5 π 4 + 2 m π .

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