Enunciado

Usando o Teorema 9.7.2, mostre que o sistema autônomo linear

d x d t = a 11 x + a 12 y ,     d y d t = a 21 x + a 22 y

Não tem solução periódica (diferente de x = 0 , y = 0 ) se a 11 + a 22 ≠ 0 .

Passo 1

Tá legal, então, conforme nos foi dado no enunciado, nós teremos as funções F e G da seguinte forma:

F x , y = a 11 x + a 12 y

G x , y = a 21 x + a 22 y

Então, calculando suas derivadas, temos:

F x = a 11

G y = a 22

Passo 2

Então, com isso, teremos:

F x + G y = a 11 + a 22

Então, baseado na hipótese dada, a soma F x + G y é positiva ou negativa no plano todo.

Passo 3

Então, pelo Teorema 9.7.2, o sistema não pode possuir a solução que não seja a trivial (aquela com x = 0 e y = 0 ).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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