Enunciado

Neste problema, esboçamos uma demonstração para a primeiro parte do Teorema 11.2 . 3 : Que autovalores do problema de Sturm-Liouville (1), (2) são simples. Para um λ dado, suponha que ϕ 1 e ϕ 2 são duas autofunções linearmente independentes. Calcule o wronskiano W ( ϕ 1 ,   ϕ 2 ) ( x ) e use as condições de contorno (2) para mostrar que W ϕ 1 ,   ϕ 2 0 = 0 . Depois, use os Teoremas 3.3.2 e 3.3.3 para concluir que ϕ 1 e ϕ 2 não podem ser linearmente independentes como suposto.

Passo 1

Supondo que ϕ 1 ( x ) e ϕ 2 x   são autofunções linearmente independentes associadas com um autovalor λ . O wronskiano é dado por:

W ϕ 1 ,   ϕ 2 x = ϕ 1 x ϕ 2 ' x - ϕ 2 x ϕ 1 ' x

Cada uma das autofunções datisfaz as condições de contorno a 1 y 0 + a 2 y ' 0 = 0   . Se a 1 = 0 ou a 2 = 0 , então W ϕ 1 ,   ϕ 2 0 = 0 . Por outro lado, caso a 2 ≠ 0 , então:

W ϕ 1 ,   ϕ 2 0 = ϕ 1 0 ϕ 2 ' 0 - ϕ 2 0 ϕ 1 ' 0

= - a 1 a 2 ϕ 1 0 ϕ 2 0 + a 1 a 2 ϕ 2 0 ϕ 1 0

= 0

Passo 2

Pelo teorema 3.3 . 2 , W ϕ 1 ,   ϕ 2 x = 0 para todo x de 0 a 1. Baseado no teorema 3.3 . 3 , ϕ 1 x e ϕ 2 x deve ser linearmente dependentes. Logo λ deve ser um autovalor simples.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas de 10 a 13, encontre os coeficientes da expansão em autofunções ∑ n = 1 ∞ a n ϕ n ( x ) da função dada, usando as autofunções normalizadas do problema 4.13. f x = 1 ,0 ≤ x ≤ 1