Enunciado

Nestes exercícios, dê as respostas com tantas casas decimais quantas forem permitidas por seu recurso computacional, mas siga o procedimento delineado na caixa Domínio da Tecnologia à página 298 .

Use um recurso gráfico computacional para determinar quantas soluções tem a equação e, então, use o Método de Newton para aproximar a solução que satisfaça a condição dada.

x 4 + x 2 - 4 = 0 ;           x < 0

Passo 1

Vamos olhar no gráfico abaixo quantas soluções tem a equação:

No gráfico notamos que possui duas soluções, vamos agora usar o Método de Newton para aproximar a solução que satisfaça x < 0 , vamos lá!!

Passo 2

Vamos agora aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 3

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 4 + x 2 - 4 ' = 4 x 4 - 1 + 2 x 2 - 1 - 0 = 4 x 3 + 2 x

Passo 4

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 4 + x n 2 - 4 4 x n 3 + 2 x n

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = - 1 , satisfazendo a condição de x < 0 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 4 + x 1 2 - 4 4 x 1 3 + 2 x 1 = - 1 - - 1 4 + - 1 2 - 4 4 ⋅ - 1 3 + 2 ⋅ - 1 ≈ - 1 , 33333333 3

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 4 + x 2 2 - 4 4 x 2 3 + 2 x 2 =

= - 1,333333333 - - 1,333333333 4 + - 1,333333333 2 - 4 4 ⋅ - 1,333333333 3 + 2 ⋅ - 1,333333333 ≈ - 1 , 256097561

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 4 + x 3 2 - 4 4 x 3 3 + 2 x 3 =

= - 1,256097561 - - 1,256097561 4 + - 1,256097561 2 - 4 4 ⋅ - 1,256097561 3 + 2 ⋅ - 1,256097561 ≈ - 1,2 49662991

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 4 + x 4 2 - 4 4 x 4 3 + 2 x 4 =

= - 1,249662991 - - 1,249662991 4 + - 1,249662991 2 - 4 4 ⋅ - 1,249662991 3 + 2 ⋅ - 1,249662991 ≈ - 1,2496 210695

Vamos achar x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - x 5 4 + x 5 2 - 4 4 x 5 3 + 2 x 5 =

= - 1,2496210695 - - 1,2496210695 4 + - 1,2496210695 2 - 4 4 ⋅ - 1,2496210695 3 + 2 ⋅ - 1,2496210695 ≈ - 1,24962106 77

Vamos achar x 7 :

x 6 + 1 = x 7 = x 6 - x 6 4 + x 6 2 - 4 4 x 6 3 + 2 x 6 =

= - 1,2496210695 - - 1,2496210695 4 + - 1,2496210695 2 - 4 4 ⋅ - 1,2496210695 3 + 2 ⋅ - 1,2496210695 ≈ - 1,2496210677

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é - 1,2496210677 .

Resposta

A raiz é - 1,2496210677 .

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