Enunciado

Descreva como o gráfico de f varia de acordo com a variação de c. Faça vários gráficos da família para ilustrar as tendências que você encontrou. Em particular, você deve investigar como os pontos de máximos e mínimos e os pontos de inflexão se movem quando c muda. Você também deve identificar valores de transição para c no qual a forma básica da curva muda.

f x = sin ⁡ x c + cos ⁡ x

Passo 1

Bom pessoal, neste exercício nós devemos usar algum recurso para plotar gráficos e calcular valores das funções. Tendo isso, vamos ao exercício:

f x = sin ⁡ x c + cos ⁡ x

f ' x = c   c o s x +   c o s 2 ( x ) +   s i n 2 ( x ) c   +   c o s x 2  

f ' ' x = s i n x - c 2 +   c   c o s x +   2   s i n 2 ( x ) +   2   c o s 2 ( x ) c   +   c o s x 3

Primeiro, vamos plotar os gráficos para valores positivos de c. Depois, vamos para os valores negativos.

Passo 2

Agora vamos analisar o comportamento:

c = 0 → temos o gráfico da tangente, função periódica e ímpar.

c ≠ 0 → o gráfico tende a “deitar”, isto é, fica mais largo em x. Os pontos de interseção são periódicos e cruzam o eixo x a cada π / 2 .

c < 0 →   Para c = - 1 , não há interceptação no eixo y, pois o denominador da função fica igual a zero. Para valores de c < - 1 , os limites somem, pois o denominador não será nunca igual a zero. Agora vamos olhar as derivadas:

f ' x = c   c o s x +   1 c   +   c o s x 2  

f ' ' x = s i n x - c 2 +   c   c o s x +   2 c   +   c o s x 3

Nota-se que o termo c cos ⁡ x   influencia o comportamento da função, pois os outros valores são sempre positivos (estão elevados ao quadrado). Os pontos de máximo e mínimo ocorrem quando cos ⁡ x = - 1 / c . A concavidade segue a função seno, ou seja,

quando x = 2 n π , 2 n + 1 π será para cima e

quando x = ( 2 n - 1 π , 2 n π ) será para baixo.

Os pontos de inflexão ocorrem quando

x = n π ;                 n ∈ I Z

c > 0 →   Há interceptação no eixo y quando x = 0 para todos os valores de c. O comportamento da função é quase o mesmo, mas deslocado de π para o lado. Para valores de c > 1 , os limites ao infinito somem, pois o denominador não será nunca igual a zero. Os pontos de máximo e mínimo continuam a ocorrer quando cos ⁡ x = - 1 / c . Já as concavidades ficam “invertidas” em relação ao c < 0 . A concavidade segue a função -seno, ou seja,

Quando x = 2 n π , 2 n + 1 π será para baixo e

quando x = ( 2 n - 1 π , 2 n π ) será para cima.

Os pontos de inflexão continuam quando

x = n π               n ∈ I Z

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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