Enunciado

Nestes exercícios, dê as respostas com tantas casas decimais quantas forem permitidas por seu recurso computacional, mas siga o procedimento delineado na caixa Domínio da Tecnologia à página 298 .

Use um recurso gráfico computacional para determinar quantas soluções tem a equação e, então, use o Método de Newton para aproximar a solução que satisfaça a condição dada.

x 5 - 5 x 3 - 2 = 0 ;           x > 0

Passo 1

Vamos olhar no gráfico abaixo quantas soluções tem a equação:

No gráfico notamos que possui três soluções, vamos agora usar o Método de Newton para aproximar a solução que satisfaça x > 0 , vamos lá!!

Passo 2

Vamos agora aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 3

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 5 - 5 x 3 - 2 ' = 5 x 5 - 1 - 5 ⋅ 3 ⋅ x 3 - 1 - 0 = 5 x 4 - 15 x 2

Passo 4

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 5 - 5 x n 3 - 2 5 x n 4 - 15 x n 2

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 2 , satisfazendo a condição de x > 0 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 5 - 5 x 1 3 - 2 5 x 1 4 - 15 x 1 2 = 2 - 2 5 - 5 ⋅ 2 3 - 2 5 ⋅ 2 4 - 15 ⋅ 2 2 ≈ 2,5

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 5 - 5 x 2 3 - 2 5 x 2 4 - 15 x 2 2 = 2,5 - 2,5 5 - 5 ⋅ 2,5 3 - 2 5 ⋅ 2,5 4 - 15 ⋅ 2,5 2 ≈ 2,3273846154

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 5 - 5 x 3 3 - 2 5 x 3 4 - 15 x 3 2 =

= 2,3273846154 - 2,3273846154 5 - 5 ⋅ 2,3273846154 3 - 2 5 ⋅ 2,3273846154 4 - 15 ⋅ 2,3273846154 2 ≈ 2,2776776776

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 5 - 5 x 4 3 - 2 5 x 4 4 - 15 x 4 2 =

= 2,2776776776 - 2,2776776776 5 - 5 ⋅ 2,2776776776 3 - 2 5 ⋅ 2,2776776776 4 - 15 ⋅ 2,2776776776 2 ≈ 2,2738140346

Vamos achar x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - x 5 5 - 5 x 5 3 - 2 5 x 5 4 - 15 x 5 2 =

= 2,2738140346 - 2,2738140346 5 - 5 ⋅ 2,2738140346 3 - 2 5 ⋅ 2,2738140346 4 - 15 ⋅ 2,2738140346 2 ≈ 2,2737917331

Vamos achar x 7 :

x 6 + 1 = x 7 = x 6 - x 6 5 - 5 x 6 3 - 2 5 x 6 4 - 15 x 6 2 =

= 2,2737917331 - 2,2737917331 5 - 5 ⋅ 2,2737917331 3 - 2 5 ⋅ 2,2737917331 4 - 15 ⋅ 2,2737917331 2 ≈ 2,2737917324

Por último vamos achar x 8 :

x 7 + 1 = x 8 = x 7 - x 7 5 - 5 x 7 3 - 2 5 x 7 4 - 15 x 7 2 =

= 2,2737917331 - 2,2737917331 5 - 5 ⋅ 2,2737917331 3 - 2 5 ⋅ 2,2737917331 4 - 15 ⋅ 2,2737917331 2 ≈ 2,2737917324

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 2,2737917324 .

Resposta

A raiz é 2,2737917324 .

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