Enunciado

Nick começa trotando e corre cada vez mais rápido por 3 minutos, então ele caminha por 5 minutos. Ele para em um cruzamento por 2 minutos, corre rapidamente por 5 minutos e depois caminha por 4 minutos.

a) Esboce um gráfico possível da distância s que Nick percorreu após t minutos.

b) Esboce um gráfico de d s / d t .

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi descrito o comportamento de uma pessoa ao fazer exercícios na rua onde para cada intervalo de tempo, o enunciado nos deu um certo comportamento da pessoa.

Com essas informações queremos esboçar o gráfico da distância s em relação ao tempo t e tambem o gráfico de d s / d t .

Parece complicado?

Bom galera, para fazer o gráfico espaço pelo tempo do Nick, a gente vai dividir o passeio dele em 5 movimentos.

1 → A c e l e r a d o   p o r   3   m i n u t o s

2 → V e l .   c o n s t a n t e   ( a n d a )   p o r   5   m i n u t o s

3 → P a r a d o   p o r   2   m i n u t o s

4 → V e l .   c o n s t a n t e   c o r r e   p o r   5   m i n u t o s

5 → V e l .   c o n s t a n t e   a n d a   p o r   4   m i n u t o s

A partir desses 5 movimentos, podemos esboçar o gráfico de s t .

Já para esboçar o gráfico de s ' t , temos que ter em mente uma propriedade da derivada que diz que a derivada de uma função pode ser interpretada como a inclinação instantânea de função, mas no caso da aplicação em uma função movimento, a derivada resulta na velocidade.

Lembra disso? Bora começar!

Passo 2

No primeiro movimento, a pessoa está acelerando, então cada vez mais ela percorre um espaço maior...

No segundo movimento a velocidade é constante, então graficamente a função é linear em relação ao tempo.

No terceiro movimento a pessoa está parada, então nesse intervalo a função é constante...

No quarto movimento a pessoa volta a correr com velocidade constante, então novamente nesse intervalo a função é linear.

Por ultimo, no quinto movimento a pessoa anda com velocidade constante, então esse intervalo tambem é linear, mas com uma inclinação menor...

Com isso o gráfico fica:

Onde o eixo y é a distancia s e o eixo x é o tempo t

Show? Bora continuar!

Passo 3

Beleza, agora vou te contar um segredo, a derivada da função do espaço pelo tempo, dá a velocidade pelo tempo, então para cada um dos movimento temos uma derivada diferente, vamos usar valores inventados de velocidade.

No primeiro movimento, é dito que a pessoa está acelerando continuamente, logo, sua velocidade cresce linearmente com o tempo.

No segundo movimento a velocidade é constante e relativamente baixa.

No terceiro movimento, a pessoa para, nesse intervalo a função velocidade é nula.

No quarto movimento a pessoa corre com velocidade constante e alta.

E no ultimo movimento, a pessoa continua correndo com velocidade constante, porem mais devagar...

Como s ' t = v t onde v é a velocidade, temos que o gráfico da derivada de s é dada por

Onde o eixo y é a velocidade e o eixo x é o tempo.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

a)

b)

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