Enunciado

O número de bactéria depois de t horas em um laboratório experimental controlado é n = f ( t ) .

  1. Qual o significado da derivada de f ' ( 5 ) ? Quais são suas unidades?
  2. Suponha que haja uma quantidade ilimitada de espaço e nutrientes para a bactéria. Qual será maior: f ' ( 5 ) ou f ' ( 10 ) ? Se a oferta de nutrientes for limitada, isso afetaria sua conclusão? Explique.

Passo 1

Fala pessoal, beleza?

Vamo para mais uma questão sobre derivadas, e essa aqui é uma das conceituais! Nos é dada uma função n = f ( t ) que representa a quantidade de bactérias, em um ambiente controlado, após um tempo t (em horas) e querem que tiremos algumas conclusões:

Por exemplo: qual o significado da derivada de f ' ( 5 ) ? Quais são suas unidades? E suponha que haja uma quantidade ilimitada de espaço e nutrientes para a bactéria. Qual será maior: f ' ( 5 ) ou f ' ( 10 ) ? Se a oferta de nutrientes for limitada, isso afetaria sua conclusão? Explique

Bora lá então!

Veja só! 😉

Passo 2

  1. Sabemos que toda a derivada é uma taxa de variação. Temos, então, que f ' ( 5 ) é uma taxa de variação, vai representar o crescimento das bactérias por hora!
  2. Como x = 5 , teremos que f ' ( 5 ) representará a taxa de crescimento da população de bactérias, em b a c t é r i a s / h o r a , após um período t = 5   h o r a s .

    Bora para o próximo item agora!

    Passo 3

  3. Nesse aqui temos dois casos – vamos analisar um de cada vez.

Caso as bactérias tenham recursos ilimitados para crescerem e se reproduzirem, então quanto mais bactérias tiverem, mais “filhos” podem ser produzidos e mais rápido vão crescer, concorda?

Então, a taxa de crescimento f ' ( 10 ) (após t = 10   h o r a s ) será beeeem maior que a taxa de crescimento f ' ( 5 ) (após t = 5   h o r a s ).

Caso a oferta de nutrientes seja limitada, aí não vai dar para se reproduzir adoidado não – Não vai ter comida para todo mundo!

Por causa disso, é possível que f ' ( 10 ) seja menor que f ' ( 5 ) : No início ta todo mundo se reproduzindo e depois isso vai parando de acontecer por causa dos recursos limitados, entendeu?

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

  1. f ' ( 5 ) representará a taxa de crescimento da população de bactérias, em b a c t é r i a s / h o r a , após um período t = 5   h o r a s .
  2. Caso as bactérias tenham recursos ilimitados para crescerem e se reproduzirem, a taxa de crescimento f ' ( 10 ) (após t = 10   h o r a s ) será maior que a taxa de crescimento f ' ( 5 ) (após t = 5   h o r a s ). Isso porque quanto mais bactérias existirem, mais elas conseguerião se reproduzir. Caso a oferta de nutrientes seja limitada, é possível que f ' ( 10 ) seja menor que f ' ( 5 ) : a população não vai ter condições se reproduzri tão rápido quanto no início e seu crescimento começará a desacelerar.
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Calcule f ' x onde f x é igual a x cotg ⁡ x
Calcule F ' x onde F x é igual a x 2 - 1 x + 1
Calcule F ' x onde F x é igual a x + x 4 x 2 + 3
Calcule f ' x onde f x é igual a x + sen ⁡ x x - cos ⁡ x
Calcule F ' x onde F x é igual a x x 2 + 1