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Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 5.1 - Ex. 9

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Com uma calculadora programável (ou um computador), é possível calcular as expressões para a soma das áreas de retângulos aproximantes, mesmo para valores grandes de n , usando l a ç o s . (Numa T I use o comando I s > ; numa Casio use I s z , numa HP ou no BASIC use um laço FOR-NEXT.) Calcule a soma das áreas dos retângulos aproximantes usando subintervalos iguais e extremidades direitas para n = 10 ,   30   e   50 . Então, conjecture o valor exato da área.

A região sob y = x 4 de 0 até 1 .

Passo 1

Aqui colocaremos um algoritmo ordenado pela sequência de operações para calcularmos as somas.

Passo 2

  1. Colocamos S U M = 0 ,   X _ M I N = 0 , X _ M A X = π ,   N = 10 (no lugar de 10 podemos ter também 30 ou 50 dependendo de qual soma estivermos calculando), D E L T A _ X = ( X _ M A X -   X _ M I N ) / N , e R I G H T E N D P O I N T = X _ M I N +   D E L T A _ X .
  2. Passo 3

  3. Devemos repetir os passos 2a e 2b em sequência:
    1. Adicionamos ( R I G H T _ E N D P O I N T ) a soma.
    2. Adicionamos D E L T A _ X a R I G H T _ E N D P O I N T .

Ao final do processo, ( D E L T A _ X ) ( S U M ) é igual a resposta que estamos procurando. Nós encontramos que:

R 10 = π 10 ∑ i = 1 10 se n ⁡ i π 10 ≈ 1.9835 ,   R 30 = π 3 0 ∑ i = 1 3 0 se n ⁡ i π 3 0 ≈ 1.9 982 ,   e

  R 50 = π 50 ∑ i = 1 10 se n ⁡ i π 50 ≈ 1.9993

Isso demonstra que a área exata é 2 .

Passo 3

Abaixo temos o programa S U M R I G H T , e vem de uma calculadora T I - 83 Plus. Para generalizar o programa, nós temos valores de entrada (em vez dos atribuídos) para X m i n ,   X m a x ,   e N . Além disso, a função se n ⁡ x é chamada de Y 1 , nos possibilitando avaliar qualquer soma apenas mudando Y 1 e executando o programa:

Resposta

O valor exato da área é 2 .

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