Enunciado

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O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função

n = f t = a 1 + b e - 0,7 t

Em que t é medido em horas. No instante t = 0 a população é de 20 células e está crescendo a uma taxa de 12   c é l u l a s / h o r a   . Encontre os valores de a   e b . De acordo com este modelo, o que ocorre com a população de levedura depois de muito tempo?

Passo 1

Para calcularmos a   e   b usaremos as informações dadas no enunciado. Primeiro, usando f 0 = 20 , ficamos com

f 0 = 20 = a 1 + b e 0

20 1 + b = a

Passo 2

Agora, usaremos a informação da taxa de variação, o enunciado nos diz que f ' 0 = 12 . Daí calculando f ' t e depois substituindo os valores, ficamos com

f t = a ⋅ 1 + b e - 0,7 t - 1

f ' t = a ⋅ - 1 ⋅ 1 + b e - 0,7 t - 2 ⋅ b e - 0,7 t ⋅ - 0,7

f ' t = 0,7 a ⋅ b e - 0,7 t 1 + b e - 0,7 t 2

Agora, fazemos f ' 0 = 12

f ' 0 = 12 = 0,7 a ⋅ b 1 + b 2

Agora, sabemos que 20 1 + b = a , e substituindo, ficamos com

12 = 0,7 ⋅ 20 ⋅ 1 + b ⋅ b 1 + b 2

12 = 14 b 1 + b

12 1 + b = 14 b

12 + 12 b = 14 b

2 b = 12

b = 6

Passo 3

Agora, podemos calcular a , pois

a = 20 ( 1 + b )

a = 20 ⋅ 7 = 140

Passo 4

Podemos reescrever f ( t ) substituindo os valores que encontramos de a e b , daí ficamos com

f t = 140 1 + 6 e - 0,7 t

Agora, tomaremos o limite fazendo t → ∞

lim t → ∞ ⁡ 140 1 + 6 e - 0,7 t = 140 1 + 6 ⋅ 0 = 140 1 = 140

Então, podemos concluir que depois de muito tempo a população de levedura se estabiliza.

Passo 5

Passo 6

Passo 7

Resposta

a = 140

b = 6

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