Enunciado

O número de horas de claridade em um dado dia e em um dado ponto da superfície terrestre depende da latitude λ do ponto, do ângulo γ através do qual a Terra moveu-se em seu plano orbital durante o período de tempo a partir do equinócio de outono ( 21 de março) e do ângulo de inclinação ϕ do eixo de rotação da Terra, medido a partir da eclíptica para o norte ( ϕ ≈ 23,45 o ). O número de horas de claridade h pode ser aproximado pela fórmula

h = 24 ,     D ≥ 1 12 + 2 15   arc sen ⁡ D ,     D < 1 0 ,     D ≤ - 1

Em que:

D = sen ⁡ ϕ sen ⁡ γ tg ⁡ λ 1 - sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ γ

E arc sen ⁡ D é medido em graus. Dado que Fairbanks, no Alaska, está localizado à latitude de λ = 65 o   N e também que γ = 90 0 em 20 de junho e γ = 270 0 em 20 de dezembro, aproxime:

  1. O número máximo de horas de claridade em Fairbanks com uma casa decimal;
  2. O número mínimo de horas de claridade em Fairbanks com uma casa decimal;

Passo 1

Ô enunciado feio hahaha muita letra grega gente! Mas calma que vamos tirar de letra. A questão pede número máximo e mínimo de horas de claridade. Ou seja, o h máximo e mínimo. Veja só galera, essa letrinha tem essa definição, dada pelo enunciado:

h = 24 ,     D ≥ 1 12 + 2 15   arc sen ⁡ D ,     D < 1 0 ,     D ≤ - 1

E a letra D , tem essa:

D = sen ⁡ ϕ sen ⁡ γ tg ⁡ λ 1 - sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ γ

Então deu pra ver que pra achar h , precisamos primeiro achar D . Vamos focar nisso!

Passo 2

Show, olha, a questão dá pra gente alguns outros dados:

  • λ = 65 o   N
  • ϕ ≈ 23,45 o
  • γ = 90 0 em 20 de junho
  • γ = 270 0 em 20 de dezembro

Po galera, então dessas 3   letras gregas, a única que varia é γ , sendo as outras constantes Como D depende de sen ⁡ γ , para:

γ = 90 0 → sen ⁡ γ = 1

γ = 27 0 0 → sen ⁡ γ = - 1

Achamos então exatamente o valor máximo e mínimo que um seno pode obter! Sendo o resto da expressão de D constante, sen ⁡ γ máximo ou mínimo nos fornece valores de D máximos ou mínimos também! Saca só, seja:

D γ = sen ⁡ ϕ sen ⁡ γ tg ⁡ λ 1 - sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ γ

Substituindo as constantes e a variável, temos:

D 90 0 = sen ⁡ 23,45 sen ⁡ 90 0 tg ⁡ 65 o 1 - sin 2 ⁡ 23,45 sin 2 ⁡ 90 0

Podemos fazer isso com uma calculadora ou então usando uma ferramenta famosa de planilhas. Nela, montamos a fórmula de D com cuidado, selecionando as células corretas e depois usamos a função “=ASEN()” pra calcular o arcoseno de D . Os resultados são:

Passo 3

Agora pra fechar pessoal, vamos analisar esses valores de D na fórmula do h . Seja:

h = 24 ,     D ≥ 1 12 + 2 15   arc sen ⁡ D ,     D < 1 0 ,     D ≤ - 1

Para D = 0,93 e D = - 0,93 usaremos a lei de formação do meio:

h D = 2 + 2 15   arc sen ⁡ D

E de novo, podemos usar a ferramenta de planilhas pra achar esse resultado:

Ta na mão! Nossos h máximos e mínimos serão, respectivamente, ~ 21,13 horas e ~ 2,87 horas!

Resposta

  1. h m a x ≅ 21,13   h o r a s
  2. h m i n ≅ 2,87   h o r a s
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