Enunciado

Complete as identidades usando o método do triângulo (Figura 0.4 . 15 )

  1. sen ⁡ arc cos ⁡ x =   ?
  2. tg ⁡ arc cos ⁡ x =   ?
  3. cossec ⁡ arc tg ⁡ x =   ?
  4. sen ⁡ arc tg ⁡ x =   ?

Passo 1

Fala povo, tudo ok? Olha só a questão já ajuda bastante a gente. Da figura que ela fala, temos:

Note que dentro dela temos ângulos que já estão escritos em função dos lados! Portanto, pra resolvermos a questão, vai bastar olhar pro enunciado e escolher um triângulo que tenha esse ângulo escrito! Por exemplo, pra letra a , temos:

sen ⁡ arc cos ⁡ x

E o triângulo b da figura tem o arco “ arc cos ⁡ x ” escrito:

Pela figura, o seno desse ângulo vai ser o cateto oposto a ele (a base do triângulo) sobre a hipotenusa:

sen ⁡ arc cos ⁡ x = 1 - x 2 1

sen ⁡ arc cos ⁡ x = 1 - x 2

Pescou a ideia? Vamos fazer isso pras próximas letras então!

Passo 2

Letra b: tg ⁡ arc cos ⁡ x

Olhando pra figura, podemos usar o mesmo triângulo do passo 1 :

Pela figura, a tangente desse ângulo vai ser o cateto oposto a ele (a base do triângulo) sobre o cateto adjacente (a altura do triângulo):

tg ⁡ arc cos ⁡ x = 1 - x 2 x

Boaa! Próxima letra!

Passo 3

Letra c e d , respectivamente: cossec ⁡ arc tg ⁡ x ; sen ⁡ arc tg ⁡ x

Agora a gente vai mudar o triângulo da figura pro triângulo c , afinal ele é o único com “ arc tg ⁡ x ” escrito dentro. Dá uma olhada:

Como cossecante é o inverso de seno, vamos primeiro fazer o seno desse ângulo. O seno desse ângulo vai ser o cateto oposto a ele (a altura do triângulo) sobre a hipotenusa:

sen ⁡ arc tg ⁡ x = x 1 + x 2

E logo, a cossecante será:

cossec ⁡ arc tg ⁡ x = 1 + x 2 x

E nisso já respondemos as duas últimas letras visto que ambas usam o mesmo triângulo auxiliar!

Resposta

  1. sen ⁡ arc cos ⁡ x =   1 - x 2
  2. tg ⁡ arc cos ⁡ x =   1 - x 2 x
  3. cossec ⁡ arc tg ⁡ x =   1 - x 2 x
  4. sen ⁡ arc tg ⁡ x =   x 1 - x 2
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