Enunciado

Enfocando conceitos

  1. Use um recurso computacional para calcular o valor de arc sen ⁡ arc sen ⁡ 0,25 e arc sen ⁡ arc sen ⁡ 0,9 e explique o que pode estar acontecendo no segundo cálculo.
  2. Com quais valores de x no intervalo - 1 ≤ x ≤ 1 seu recurso computacional produz um valor real para a função arc sen ⁡ arc sen ⁡ x ?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos lá! A questão já diz pra gente que tá valendo usar um recurso computacional, o que já é um grande ufa hahaha recomendo então uma famosa ferramenta de planilhas pra isso. Primeiro, vamos considerar:

g x = arc sen ⁡ x

Sendo assim, o que queremos na verdade é:

f x = g g x

Pra x = 0,25 e x = 0,9 . Usando isso, vou montar uma tabelinha assim, usando a função “=ASEN()” do recurso computacional escolhido:

E olha só o que aconteceu. Pra x = 0,25 , basicamente não mudamos o valor inserido quando fizemos f 0,25 = g g 0,25 . E a conta quando retorna “#NÚM!” é porque não achou um resultado. Em matematiquês, isso que dizer que x = 0,9 não faz parte do domínio de f x . Ok, mas porque isso?

Bem galera, se temos, também temos:

g x = arc sen ⁡ x

x = sin ⁡ g x

E disso a gente tira duas informações importantes sobre a função g x :

  • Como x é u resultado de um seno, o domínio de g x deve ser os valores máximos e mínimos que um seno alcança, isto é: x   ∈ - 1,1
  • Como g x sai em radianos, a sua imagem deve ser os arcos responsáveis por esses valores máximos e mínimos de seno, logo: g x ∈ - π 2 , π 2

Ou seja:

Porém quando fazemos

g g x = f x = arc sen ⁡ arc sen ⁡ x

Obtemos também, ao inverter:

arc sen ⁡ x = sin ⁡ f x

g x = sin ⁡ f x

Note que, dessa vez, é o g x que é um seno! Sendo assim:

  • Domínio de g g x será os valores possíveis que um seno pode ter, logo: g x   ∈ - 1,1
  • Imagem de g g x será os valores dos arcos que geram esses senos máximos e mínimos, logo: g   g x ∈ - π 2 , π 2

Ou seja:

Ao juntarmos a primeira e a segunda imagem pra fazer a composta, vemos que g x tem duas definições:

Opa, então g x precisa fazer parte dos dois intervalos ao mesmo tempo? Isso mesmo galera! E a única forma disso ser possível, já que - π 2 , π 2   ⊂ - 1,1 , é se:

g x ∈ - 1 , 1

Passo 2

Voltando pra nossa tabelinha, vemos que existe um g x = 1,11977 > 1 ! Portanto tá explicado o porquê de ter dado erro a conta! Então não é qualquer x que entra em g g x não viu? Vão ser só aqueles que resultem num g x ∈ - 1 , 1 . Seja:

x = sin ⁡ g x

g - 1 x = sin ⁡ x

Usando a mesma ferramenta de planilha, vemos que:

Resumo da obra:

Através de uma ferramenta de planilhas e de análise de conjuntos para a função trigonométrica e sua inversa correspondente, vemos que o domínio de f x = arc sen ⁡ arc sen ⁡ x é x ∈ - 0,84     ,     0,84 . Como, dos pontos que o enunciado pede, temos um deles fora desse domínio, entendemos o porque dê a conta resultar no erro “#NÚM!”.

Resposta

Através de uma ferramenta de planilhas e de análise de conjuntos para a função trigonométrica e sua inversa correspondente, vemos que o domínio de f x = arc sen ⁡ arc sen ⁡ x é x ∈ - 0,84     ,     0,84 . Como, dos pontos que o enunciado pede, temos um deles fora desse domínio, entendemos o porque dê a conta resultar no erro “#NÚM!”.

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