Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - Capítulo 1.4 - Ex. 10

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desse livro

Um objeto inicia seu movimento no ponto 0 , - 4 , e se move ao longo da parábola y = x 2 - 4 , com velocidade horizontal d x d t = 2 t - 1 . Encontre o vetor posição do objeto, os vetores velocidade e aceleração no instante t = 2 e represente-os geometricamente.

Passo 1

Pra começar, bora olhar pra velocidade horizontal:

d x d t = 2 t - 1

Galera, se dermos uma mexidinha nisso, conseguimos escrever uma expressão pra x t ! Quer ver?

1 d x = 2 t - 1   d t

∫ 1 d x = ∫ 2 t - 1   d t

x t = t 2 - t + C

Como o objeto inicia seu movimento no ponto 0 , - 4 , então, pra t = 0 , a posição x será:

x 0 = t 2 - t + C = 0

C = 0

Passo 2

Beleza, agora se usarmos a parametrização pro vetor posição:

σ t = x t , y t

Sabendo que:

x t = t 2 - t

y = x 2 - 4

Vamos ter o seguinte resultado:

σ t = t 2 - t , t 2 - t 2 - 4

σ t = t 2 - t , t 4 - 2 t 3 + t 2 - 4

E seja os vetores velocidade e aceleração:

V t = σ ' t

A t = σ ' ' t

Derivando, chegamos em:

V t = σ ' t = 2 t - 1,4 t 3 - 6 t 2 + 2 t

A t = σ ' t = 2,12 t 2 - 12 t + 2

No intante t = 2 , como o enunciado pediu, chegamos ao fim da questão!

V 2 = 3,12

A 2 = 2,26

Esboçando:

Resposta

σ t = t 2 - t , t 4 - 2 t 3 + t 2 - 4

V 2 = 3,12

A 2 = 2,26

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