Enunciado

Uma partícula se move sobre a parábola y = x 2 da esquerda para a direita. Quando ela passa pelo ponto 2 ,   4 , sua velocidade v é 3   m / s e d v d t vale 7   m / s 2 . Ache: a o vetor velocidade; b o vetor aceleração nesse ponto.

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção 1.3 do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., a Definição 1.5 (página 18 ) nos dá as fórmulas aplicadas ao movimento:

σ t = x t ,   y t é o vetor posição;

σ ' t = V t = x ' t ,   y ' t é o vetor velocidade;

σ ' ' t = A t = x ' ' t ,   y ' ' t é o vetor aceleração;

Visto que os vetores velocidade e aceleração terão as formas:

V t = d x d t , d y d t

E:

A t = d 2 x d t 2 , d 2 y d t 2

Vamos deixar as suas coordenadas em função de d x / d t e d 2 x / d t 2 para calcularmos os resultados dos vetores no ponto dado.

Como o enunciado dá a informação da velocidade e da sua derivada, podemos determinar o módulo do vetor velocidade para comparar os resultados. Fazendo isso, teremos:

v = V t = x ' t 2 + y ' t 2

Ou ainda:

v = d x d t 2 + d y d t 2

Pelo enunciado:

v = d x d t 2 + d y d t 2 = 3

A partir disso, iremos determinar d x / d t para o cálculo do vetor velocidade.

Da mesma forma, para d v / d t , precisamos derivar essa última equação encontrada, tal que:

d v d t = 1 2 d x d t 2 + d y d t 2 2 d x d t d 2 x d t 2 + 2 d y d t d 2 y d t 2

Simplificando o termo semelhante:

d v d t = 1 d x d t 2 + d y d t 2 d x d t d 2 x d t 2 + d y d t d 2 y d t 2

E, pelo enunciado, este resultado será dado por:

d v d t = 1 d x d t 2 + d y d t 2 d x d t d 2 x d t 2 + d y d t d 2 y d t 2 = 7

Analogamente ao vetor velocidade, isso nos dará o valor de d 2 x / d t 2 para calcular o vetor aceleração.

Passo 2

Então, primeiro vamos encontrar o vetor velocidade derivando a equação geral do vetor posição, tal que:

V t = σ ' t = d x d t , d y d t

A derivada de y pode ser calculada a partir da equação da parábola e será dada por:

y = x 2 → d y d t = 2 x d x d t

Então, a equação geral do vetor velocidade é:

V t = d x d t ,   2 x d x d t

E, tirando o termo comum, pode ser reescrito como:

V t = d x d t 1 ,   2 x

Mas o resultado ainda depende do valor de d x / d t . Então, vamos determiná-lo a seguir.

Passo 3

Como dito no primeiro passo, a velocidade escalar é dada por:

v = d x d t 2 + d y d t 2 = 3

Substituindo a derivada de y que encontramos antes, temos:

d x d t 2 + 2 x d x d t 2 = 3

Tal que:

d x d t 2 + 4 x 2 d x d t 2 = 3

Tirando o fator comum:

d x d t 2 1 + 4 x 2 = 3

Então:

d x d t 1 + 4 x 2 = 3

Logo, o valor que queremos é:

d x d t = 3 1 + 4 x 2

E podemos determinar o vetor velocidade no ponto dado:

V = 3 1 + 4 x 2 1 ,   2 x

Substituindo a coordenada x do ponto 2 ,   4 :

V = 3 1 + 4 2 2 1 ,   2 2

Dessa forma:

V = 3 17 1 ,   4 = 3 17 ,   12 17

Passo 4

Da mesma maneira, a aceleração vai ser calculada derivando duas vezes o vetor posição ou derivando o vetor velocidade. Logo, através da segunda opção, a derivada da velocidade é:

A t = V ' t = d 2 x d t 2 ,   d 2 y d t 2

A coordenada y desse vetor, pode ser encontrada derivando a equação y ' t que obtivemos antes:

d 2 y d t 2 = d d t 2 x d x d t = 2 d x d t + x d 2 x d t 2

Com isso, a equação geral do vetor aceleração vai ser dada por:

A t = d 2 x d t 2 ,   2 d x d t + 2 x d 2 x d t 2

Só nos resta determinar o valor de d 2 x / d t 2 . Vamos lá!!

Passo 5

Nesse passo, vamos aproveitar a informação dada pelo exercício que diz:

d v d t = 7

Agora, vamos calcular essa derivada que mostramos anteriormente como:

d v d t = 1 d x d t 2 + d y d t 2 d x d t d 2 x d t 2 + d y d t d 2 y d t 2 = 7

Substituindo os termos d y / d t e d 2 y / d t 2 :

1 d x d t 2 + 2 x d x d t 2 d x d t d 2 x d t 2 + 2 x d x d t 2 d x d t + 2 x d 2 x d t 2 = 7

Como já sabemos o valor de x e d x / d t no ponto de interesse, vamos substituir estes valores nessa última equação:

1 3 17 2 + 4 3 17 2 3 17 d 2 x d t 2 + 4 3 17 2 3 17 + 4 d 2 x d t 2 = 7

Isso nos dará:

1 9 17 + 16 9 17 3 17 d 2 x d t 2 + 12 17 6 17 + 4 d 2 x d t 2 = 7

Ou ainda:

1 1 7 9 17 3 17 d 2 x d t 2 + 72 17 + 48 17 d 2 x d t 2 = 7

Passo 6

Deixando apenas os termos com d 2 x / d t 2 do lado esquerdo da equação, temos:

3 17 d 2 x d t 2 + 48 17 d 2 x d t 2 = 7 9 - 72 17

Juntando os termos:

51 17 d 2 x d t 2 = 21 - 72 17

Igualando o denominador do lado direito:

51 17 d 2 x d t 2 = 357 - 72 17 = 285 17

Assim, isolando a segunda derivada de x em relação a t :

d 2 x d t 2 = 285 17 17 51

Portanto:

d 2 x d t 2 = 285 51 17

Passo 7

Finalmente, poderemos determinar o vetor aceleração. Pela equação:

A t = d 2 x d t 2 , d 2 y d t 2

Vamos substituir a segunda derivada de y :

A = d 2 x d t 2 , 2 d x d t + 2 x d 2 x d t 2

E, então, substituir ambas as derivadas de x e o valor de x do ponto dado:

A = 285 51 17 , 2 3 17 + 4 285 51 17

Então:

A = 285 51 17 , 6 17 + 4 285 51 17

Isso nos dá:

A = 285 51 17 , 6 51 + 1140 51 17

Logo:

A = 285 51 17 , 1446 51 17

Caso se deseje confirmar o resultado, basta determinar o módulo desse vetor aceleração e verificar se o resultado é o mesmo dado pelo enunciado. Em outras palavras:

A = d v d t = 7

Resposta

a   V = 3 17 ,   12 17

b   A = 285 51 17 , 1446 51 17

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