Enunciado

Uma partícula se move ao longo do ramo superior da hipérbole y 2 - x 2 = 9 de tal forma que d x d t é uma constante positiva. Encontre o que se pede, quando a partícula está em 4 ,   5 : o vetor posição, o vetor velocidade, o vetor aceleração, o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário, as componentes tangencial e normal da aceleração, A T e A N .

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção 1 . 3 do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., a Definição 1 . 5 (página 18 ) nos dá as fórmulas aplicadas ao movimento:

σ t = x t ,   y t é o vetor posição;

σ ' t = V t = x ' t ,   y ' t é o vetor velocidade;

σ ' ' t = A t = x ' ' t ,   y ' ' t é o vetor aceleração;

Agora, para os vetores tangente e normal unitários, podemos encontrar as fórmulas na seção 1.7 do mesmo livro e escrevê-las respectivamente como:

T t = σ ' t σ ' t

E:

N t = T ' t T ' t

Por fim, como o Teorema 1.3 (página 36 ) da seção 1.7 nos dá a fórmula do vetor aceleração como:

A t = v ' t T t + v t T ' t N t

Os coeficientes dos vetores tangente e normal unitários são definidos como componentes tangencial e normal da aceleração. Como a aceleração possui esses dois componentes que são perpendiculares entre si e formam um triângulo retângulo (observe a imagem abaixo), ela pode ser definida através do Teorema de Pitágoras:

Assim:

A t 2 = A T 2 + A N 2

E, isolando a componente normal:

A N = A t 2 - A T 2

Tal que:

A T = v ' t

Passo 2

Dessa forma, para sabermos o vetor posição no ponto dado, basta substituir as coordenadas dele:

σ t = x t ,   y t = 4 ,   5

Para encontrar o vetor velocidade, precisamos derivar a equação geral do vetor posição, tal que:

V t = σ ' t = d x d t , d y d t

A derivada de y pode ser calculada derivando a função da hipérbole, ou seja:

y 2 - x 2 = 9 → 2 y d y d t - 2 x d x d t = 0

Reescrevendo:

2 y y ' t = 2 x d x d t

E isolando a derivada de y :

y ' t = x y d x d t

Então, a equação geral do vetor velocidade é:

V t = d x d t ,   x y d x d t

E pode ser reescrito como:

V t = d x d t 1 , x y

Substituindo o ponto dado:

V t = d x d t 1 , 4 5

Passo 3

Da mesma forma, a aceleração vai ser calculada derivando duas vezes o vetor posição ou derivando o vetor velocidade. Logo, através da segunda opção, a derivada da velocidade é:

A t = V ' t = d 2 x d t 2 ,   y ' ' t

Como o enunciado nos diz que d x / d t é uma constante, então a sua derivada é nula. Isso significa que a coordenada x do vetor velocidade é zero. Já a coordenada y desse vetor, pode ser encontrada derivando a equação y ' t que obtemos antes:

y ' ' t = y d x d t - x d y d t y ² d x d t + x y d 2 x d t 2

Substituindo d y / d t = y ' t :

y ' ' t = y d x d t - x x y d x d t y ² d x d t + 0

Ou seja:

y ' ' t = 1 y d x d t - x 2 y 3 d x d t d x d t = 1 y - x 2 y 3 d x d t 2

Ou:

y ' ' t = y 2 - x 2 y 3 d x d t 2

Com isso, a equação geral do vetor aceleração vai ser dada por:

A t = 0 ,   y 2 - x 2 y 3 d x d t 2

Substituindo as coordenadas do ponto:

A t = 0 , 5 2 - 4 2 5 3 d x d t 2

A t = 0 , 9 125 d x d t 2 = d x d t 2 0 , 9 125

Passo 4

Agora, para os vetores unitários, vamos determinar as variáveis antes de realizar o cálculo. Para o vetor tangente unitário, precisamos da equação de σ ' t que encontramos antes:

σ ' t = d x d t 1 , x y

E do seu módulo:

σ ' t = d x d t 2 + x y d x d t 2 = d x d t 2 + x 2 y 2 d x d t 2

Tirando o fator comum:

σ ' t = d x d t 2 1 + x 2 y 2 = d x d t 1 + x 2 y 2

Assim, a sua equação geral será:

T t = d x d t 1 , x y d x d t 1 + x 2 y 2 = 1 , x y 1 + x 2 y 2

Que pode ser reescrita como:

T t = 1 , x y y 2 + x 2 y 2 = y ,   x y 2 + x 2

Substituindo os valores do ponto:

T t = 5 ,   4 5 2 + 4 2 = 5 , 4 41

Então:

T t = 5 41 , 4 41

Passo 5

Para o vetor normal unitário, vamos utilizar a equação geral de T t , derivá-la e determinar o módulo dessa derivada. Então, com a equação:

T t = y ,   x y 2 + x 2 = y y 2 + x 2 , x y 2 + x 2

Derivando cada componente desse vetor pela regra do quociente dada por:

d d x f g = f ' g - f g ' g 2

Teremos:

T ' t = x 2 + y 2 - y 2 x + 2 y 2 x 2 + y 2 1 / 2 x 2 + y 2 2 ,   x 2 + y 2 - x 2 x + 2 y 2 x 2 + y 2 1 / 2 x 2 + y 2 2

Encontrando o mínimo múltiplo comum do numerador de ambas as coordenadas:

T ' t = x 2 + y 2 - x y - y 2 x 2 + y 2 1 / 2 x 2 + y 2 ,   x 2 + y 2 - x 2 - x y x 2 + y 2 1 / 2 x 2 + y 2

Ou ainda:

T ' t = x 2 - x y x 2 + y 2 3 / 2 ,   y 2 - x y x 2 + y 2 3 / 2

O módulo desse resultado será dado por:

T ' t = x 2 - x y x 2 + y 2 3 2 2 +   y 2 - x y x 2 + y 2 3 2 2

Que pode ser reescrito como:

T ' t = x 2 - x y 2 x 2 + y 2 3 + y 2 - x y 2 x 2 + y 2 3

Então, o vetor normal unitário é:

N t = x 2 - x y x 2 + y 2 3 / 2 ,   y 2 - x y x 2 + y 2 3 / 2 x 2 - x y 2 x 2 + y 2 3 + y 2 - x y 2 x 2 + y 2 3

E substituindo os valores de x e y :

N t = 16 - 20 16 + 25 3 / 2 ,   25 - 20 16 + 25 3 / 2 16 - 20 2 16 + 25 3 + 25 - 20 2 16 + 25 3

Obtemos:

N t = - 4 41 3 2 ,   5 41 3 2 - 4 2 + 5 2 41 3 = - 4 41 3 2 ,   5 41 3 2 41 41 3

Ou seja:

N t = - 4 41 3 2 ,   5 41 3 2 1 41 2 = - 4 41 3 2 ,   5 41 3 2 1 41

Então:

N t = 41 - 4 41 3 2 ,   5 41 3 2 = - 4 41 ,   5 41

Passo 6

Uma ideia para calcularmos a componente tangencial da aceleração, é aproveitar um resultado que obtivemos anteriormente. Como:

A T = v ' t

E:

v t = σ ' t

Nós já sabemos o valor desse módulo, pois calculamos ele para a equação do vetor tangente unitário. Logo:

v t = d x d t 1 + x 2 y 2

Se derivarmos essa equação, teremos:

v ' t = d 2 x d t 2 1 + x 2 y 2 + d x d t 1 2 1 + x 2 y 2 2 x d x d t y 2 - 2 y d y d t x 2 y 4

Isso resulta em:

v ' t = d x d t 1 x 2 + y 2 y 2 x y 2 d x d t - x 2 y x y d x d t y 4 = d x d t 2 1 x 2 + y 2 x y 2 - x 3 y 3

Assim, se substituirmos os valores do ponto, conseguimos:

A T = v ' t = d x d t 2 1 4 2 + 5 2 4 5 2 - 4 3 5 3

Dessa forma:

A T = d x d t 2 36 125 41

Passo 7

Com esses resultados, torna-se possível fazermos o cálculo da outra componente. Como a componente normal é dada por:

A N = A t 2 - A T 2

Teremos:

A N = 0 2 + d x d t 2 9 125 2 2 - d x d t 2 36 125 41 2

Logo:

A N = d x d t 4 9 125 2 - d x d t 4 36 125 41 2 = d x d t 4 9 125 2 - d x d t 4 4 9 125 41 2

Tirando os fatores comuns:

A N = d x d t 4 9 125 2 1 - 4 2 41

Temos, então:

A N = d x d t 2 9 125 1 - 16 41

Isso pode ser reescrito como:

A N = d x d t 2 9 125 41 - 16 41 = d x d t 2 9 125 25 41

Portanto:

A N = d x d t 2 9 125 5 41

Se multiplicarmos o numerador e denominador por 41 :

A N = d x d t 2 9 125 5 41 41 41

Então:

A N = d x d t 2 9 41 1 0 25

Resposta

σ t = 4 ,   5

V t = d x d t 1 , 4 5

A t = d x d t 2 0 , 9 125

T t = 5 41 , 4 41

N t = - 4 41 ,   5 41

A T = d x d t 2 36 125 41

A N = d x d t 2 9 41 1025

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 6 , σ t denota o vetor posição de uma partícula se movendo, em cada instante t . Em cada caso, determine:1)σ t = 2 + cos ⁡ 6 t , 2 + sen ⁡ 6 t , t 1 = π 9 d) dois vetores tangent
O vetor velocidade v(t).
A velocidade escalar em t=t 1 .
A velocidade escalar em t = t1.
dois vetores tangentes unitários à trajetória de partícula em t=t 1 . Trace um esboço da trajetória da partícula e represente geometricamente os vetores V t 1 e A t 1 .