Enunciado

Se um objeto de massa m é solto a partir do repouso, um modelo para sua velocidade v após t segundos, levando-se em conta a resistência do ar, é

v = m g c   ( 1 - e - c t / m )

em que g é a aceleração da gravidade e c é uma constante positiva. (No capítulo 9 deduziremos essa equação a partir da hipótese de que a resistência do ar é proporcional à velocidade do objeto.)

a) Calcule l i m t → ∞ v . Qual o significado desse limite?

b) Para um valor fixo de t , use a regra de L’Hospital para calcular l i m c → 0 + v . O que você pode concluir sobre a velocidade de um objeto caindo no vácuo?

Passo 1

Opa, bora pra mais uma questão?! O enunciado forneceu uma expressão para a velocidade de um objeto caindo sob influência da resistência do ar:

v = m g c   ( 1 - e - c t / m )

Onde g é a aceleração da gravidade e c é uma constante positiva que tem relação com a resistência do ar. E em cima disso ele pede duas coisas:

No item (a), queremos saber a velocidade do objeto para tempos muito longos, quando t → ∞   e no item (b) a velocidade do objeto caindo quando c → 0 + , ou seja, no vácuo.

Resumindo queremos:

l i m t → ∞   v = l i m t → ∞   m g c   ( 1 - e - c t / m )

E:

l i m c → 0 +   v = l i m c → 0 +   m g c   ( 1 - e - c t / m )

Passo 2

Para responder a letra (a) vamos considerar m e c constantes maiores que zero, então:

l i m t → ∞   v = l i m t → ∞   m g c   1 - e - c t m = m g c   1 - 0

Assim:

l i m t → ∞   v = m g c

Desta forma, para tempos de queda muito longos, a velocidade satura nesse valor: ela não cresce indefinidamente.

Passo 3

Pra responder a letra (b) vamos considerar o tempo t como uma constante, ok?! Assim temos:

l i m c → 0 +   v = l i m c → 0 +   m g c   1 - e - c t m = 0 0

Como temos uma indeterminação do tipo 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hospital:

lim x → a ⁡ g x h x = lim x → a ⁡ g ' x h ' x  

Derivando, temos:

g ' t = d   m g 1 - e - c t m d t = t g e - c t m    

h ' x = d c d t = 1

Aplicando:

l i m c → 0 +   m g c   1 - e - c t m = l i m c → 0 +   t g e - c t m = g t  

l i m c → 0 +   v = g t  

Assim, para c → 0 + , v → g t , que é o resultado obtido para queda livre: desprezando o termo devido a resistência do ar na expressão dada, retomamos o resultado clássico para queda livre.

Resposta

a) l i m t → ∞   v = m g c

b) l i m c → 0 +   v = g t  

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