Enunciado

Use o método de Newton para encontrar o valor máximo absoluto da função f x = x cos ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π com precisão de seis casas decimais.

Passo 1

Falaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que calculemos os valores de máximo absoluto da seguinte função no intervalo 0 ≤ x ≤ π :

f x = x cos ⁡ x

Só que a questão nos pede para calcularmos utilizando o método de Newton!!

Mas que método é esse?

Então... esse método é dado pela seguinte fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Só que como queremos achar o máximo absoluto de f devemos achar os zeros de f ' , então a fórmula fica :

x n + 1 = x n - f ' x n f ' ' x n

Lembrando primeiro que f x = x cos ⁡ x .

Vamos agora precisar de f ' x e f ' ' x , vamos calcular então!! 😉

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, a do produto, da função trigonométrica e do polinômio:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x e f ' ' x :

f ' x = x cos ⁡ x ' = x 1 - 1 cos ⁡ x + x - sen ⁡ x ∴

f ' x = cos ⁡ x - x sen ⁡ x

E para segunda derivada, temos:

f ' ' x = cos ⁡ x - x sen ⁡ x ' ' ∴

f ' ' x = - sen ⁡ x - x 1 - 1 sen ⁡ x + - x cos ⁡ x ∴

f ' ' x = - 2 sen ⁡ x - x cos ⁡ x

Agora vamos aplicar no método!!

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x e f ' ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f ' x n f ' ' x n ∴

x n + 1 = x n - cos ⁡ x n - x n sen ⁡ x n - 2 sen ⁡ x n - x n cos ⁡ x n

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo de f ' , parece ter ponto de intersecção em x = 0,9 , veja:

Agora vamos substituir no método:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - cos ⁡ x 1 - x 1 sen ⁡ x 1 - 2 sen ⁡ x 1 - x 1 cos ⁡ x 1 ∴

x 2 ≈ 0,860781

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - cos ⁡ x 2 - x 2 sen ⁡ x 2 - 2 sen ⁡ x 2 - x 2 cos ⁡ x 2 ∴

x 3 ≈ 0,860334

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - cos ⁡ x 3 - x 3 sen ⁡ x 3 - 2 sen ⁡ x 3 - x 3 cos ⁡ x 3 ∴

x 4 ≈ 0,860334

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 0,860334 .

Vamos checar o intervalo, para ver mesmo se f 0,860334 é o máximo absoluto:

f 0 = 0

f π = - π

f 0,860334 ≈ 0,561096

Entendeu direitinho?? Responde aeee!! 😉

Resposta

O valor máximo da função é 0,561096 .

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