Enunciado

Dado que x > 0, determine o valor máximo, se houver, de

d. Mostre que l i m x → ∞   x 1 x n = 1

Passo 1

Primeiro iremos usar a regra

a b = e b   l n   a

Então temos:

x 1 x n = e 1 x n   l n   x

Passo 2

Substituindo no limite e usando a propriedade do limite

l i m x → ∞ e   1 x n   l n   x = e l i m x → ∞     1 x n   l n   x

Passo 3

Ajeitando o limite:

l i m x → ∞   1 x n   l n   x = l i m x → ∞   l n   x x n

Temos agora uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então podemos aplicar LH.

Derivando em cima e em baixo:

l i m x → ∞   l n   x x n = l i m x → ∞   1 x n ⋅ x n - 1 = l i m x → ∞   1 n ⋅ x n

Passo 4

Como já não temos mais indeterminação, podemos substituir o limite:

l i m x → ∞   1 n ⋅ x n = l i m x → ∞   1 n ⋅ ∞ = 0

Passo 5

Logo teremos:

l i m x → ∞   x 1 x n = l i m x → ∞ e   1 x n   l n   x = e l i m x → ∞     1 x n   l n   x = e 0 = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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