Enunciado

Objeto solto de cima de uma torre Um objeto foi derrubado do topo de uma torre de 100 m. Sua altura acima do solo após t segundos é de 100 - 4,9 t 2 m. Qual a velocidade da queda 2 segundos depois do objeto ter sido largado?

Passo 1

A primeira parte do problema é perceber que foi dada uma função que relaciona a altura da queda com o tempo de queda

f t = 100 - 4,9 t 2

Agora vem a grande sacada!!! Ele quer a velocidade da queda 2 segundos depois do objeto ter sido largado. Então ele quer a derivada da função no ponto t = 2 s. Por que isso? Se lembrarmos que

f ' t = d s d t = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f x 0 h

Podemos observar que temos um intervalo de queda percorrida divido por um intervalo de tempo, que nada mais é que a velocidade instantânea no ponto pedido.

Passo 2

Agora precisamos substituir a função f t na equação acima:

v = lim h → 0 ⁡ 100 - 4,9 t + h 2 - 100 - 4,9 t 2 h

Substituindo h = 0 , vemos que dá ruim

v = lim h → 0 ⁡ 100 - 4,9 t + h 2 - 100 - 4,9 t 2 h = 100 - 4,9 t + 0 2 - 100 - 4,9 t 2 0 = 0 0

Portanto precisamos fazer algumas mexidas para sairmos dessa enrascada. Podemos começar abrindo o termo quadrático

v = lim h → 0 ⁡ 100 - 4,9 t 2 + 2 h t + h 2 - 100 - 4,9 t 2 h

v = lim h → 0 ⁡ 100 - 4,9 t 2 - 9,8 h t - 4,9 h 2 - 100 + 4,9 t 2 h

v = lim h → 0 ⁡ - 9,8 h t - 4,9 h 2 h

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h

v = lim h → 0 ⁡ - 9,8 t - 4,9 h = - 9,8 t - 4,9 ∙ 0 = - 9,8 t

Passo 4

Substituindo o valor de t dado

v = - 9,8 ∙ 2 = - 19,6   m / s

Agora é só correr para o sucesso!

Resposta

v = - 19,6   m / s

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