Enunciado

Se F (x) = f ( 3 f (4 f (x)) ) , onde f (0) = 0 e f^' (0) = 2 , encontre F ' ( 0 ) .

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função:

F (x) = f ( 3 f (4 f (x)) )

Onde:

f (0) = 0

E

f^' (0) = 2

Com essas informações, queremos encontrar F^' (0) .

Então... O enunciado forneceu uma função F que é uma composta tripla da função f e, além disso, forneceu informações sobre f e sua derivada em x = 0 .

Devemos calacular a derivada de F nesse ponto e, para isso, primeiro achamos sua derivada em termos da derivada de f e depois substituímos x = 0 .

Ah... vamos precisar tamb��m da regra da cadeia, onde temos que se:

F (x) = f ( g (x) )

Então:

F^' (x) = f^' (g (x)) . g ' ( x )

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos achar primeiro F ' ( x ) . Derivando F pela regra da cadeia:

F^' (x) = f^' (3 f (4 f (x))) * 3 f^' (4 f (x)) * 4 f ' ( x )

Passo 3

Substituindo x = 0 , temos que

F^' (0) = f^' (3 f (4 f (0))) * 3 f^' (4 f (0)) * 4 f ' ( 0 )

Já temos que f^' (0) = 2 .

Veja também que:

f^' (4 f (0)) = f^' (4 * 0) = f^' (0) = 2

O mesmo ocorre com

f^' (3 f (4 f (0))) = f^' (3 f (4 * 0)) = f^' (3 f (0)) = f^' (3 * 0) = f^' (0) = 2

Assim, substituindo em F^' (0) , temos:

F^' (0) = f^' (3 f (4 f (0))) * 3 f^' (4 f (0)) * 4 f^' (0) :.

F^' (0) = 2 * 3 * 2 * 4 * 2 = 96

Resposta

F^' (0) = 96

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