Responde Aí

Enunciado

Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.

∫ 0 2 ∫ 0 x y   d y   d x

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Passo 2

Não sei se lembra, meu/minha amigo[a], mas no capítulo anterior aprendemos a fazer o gráfico de uma função polar dado sua integral.

Em resumo, a primeira integral é a função geradora do gráfico, a segunda corresponde os pontos as funções se interceptam.

Neste caso temos as funções:

y = 0

y = x

Ou seja:

y = 0

r   s e n θ = 0

E:

y = x

r   s e n θ = r cos ⁡ θ

Assim:

Por:

r   s e n θ = r cos ⁡ θ

Temos:

θ = π 4

E

r   s e n θ = 0

θ = 0

E tendo que x vai até 2 (vide no limite de integração da segunda integral)

x = 2

r cos ⁡ θ = 2

r = 2 cos ⁡ θ = 2   s e c ⁡ ( θ )

E dado que a função é y:

y = r   s e n ( θ )

Passo 3

Assim:

∫ 0 2 ∫ 0 x y   d y   d x = ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 sec ⁡ θ r   s e n ( θ )   r   d r   d θ

∫ 0 π 4 s e n θ 3 r 3 0 2 sec ⁡ θ d θ  

1 3 ∫ 0 π 4 s e n θ 2 3 sec 3 ⁡ θ d θ  

2 3 3 ∫ 0 π 4 s e n θ cos 3 ⁡ θ   d θ

Façamos u = c o s ⁡ ( θ ) logo d u = - s e n θ d θ

2 3 3 ∫ - 1 u 3 d u  

2 3 3 1 2 u 2

Lembrando u = c o s ⁡ ( θ )

2 2 3 1 2 cos 2 ⁡ ( θ ) 0 π 4

2 3 3 1 - 1 2

2 3 3 1 2

2 2 3

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 x y   d y   d x = ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 sec ⁡ θ r   s e n ( θ )   r   d r   d θ

E o valor da integral é:

2 2 3