Enunciado

Retas verticais e horizontais

  1. Mostre que toda reta vertical no plano x y tem uma equação polar da forma r = a sec ⁡ θ .
  2. Encontre a equação polar análoga para retas horizontais no plano x y .

Passo 1

Olá galerinha, vamos relembrar rapidinho a relação entre as coordenadas polares e cartesianas.

Quando utilizamos coordenadas polares e cartesianas em um plano, posicionamos as duas origens juntas e tomamos o raio polar inicial como o eixo x positivo. O raio θ = π / 2 , r > 0 , torna-se o eixo y   positivo. Os dois sistemas de coordenadas estão relacionados.

As seguintes equações determinam unicamente as coordenadas cartesianas x e y , dadas as coordenadas polares r e θ :

Porém, se x e y são dadas, usamos as equações:

No item a. temos a seguinte equação:

r = a sec ⁡ θ

Da trigonometria, sabemos que:

sec ⁡ θ = 1 c os ⁡ θ

Logo:

r = a cos ⁡ θ

r c os ⁡ θ = a

Transformando em coordenadas cartesianas:

x = a

Então, sabemos que r = a sec ⁡ θ é uma reta vertical no plano x y .

Passo 2

No item b. queremos descobrir uma equação polar análoga do item a., porém para retas horizontais no plano x y . Então consideramos que:

y = a

Transformando em equação polar:

r s en ⁡ θ = a

r = a s en ⁡ θ

Da trigonometria, sabemos que:

cos sec ⁡ θ = 1 s en ⁡ θ

Então nossa equação fica:

r = a cossec ⁡ θ

Até mais pessoal, espero ter conseguido te ajudar!

Resposta

  1. x = a ;
  2. r = a cossec ⁡ θ .

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