Enunciado

Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.

r = 8 sen ⁡ θ

Passo 1

Olá galerinha, vamos relembrar rapidinho a relação entre as coordenadas polares e cartesianas.

Quando utilizamos coordenadas polares e cartesianas em um plano, posicionamos as duas origens juntas e tomamos o raio polar inicial como o eixo x positivo. O raio θ = π / 2 , r > 0 , torna-se o eixo y   positivo. Os dois sistemas de coordenadas estão relacionados.

As seguintes equações determinam unicamente as coordenadas cartesianas x e y , dadas as coordenadas polares r e θ :

Porém, se x e y são dadas, usamos as equações:

Passo 2

Sendo assim, do enunciado, temos a seguinte equação polar:

r = 8 sen ⁡ θ

Para estabelecermos a relação entre as coordenadas polares e cartesianas, iremos multiplicar ambos os lados por r :

r 2 - 8 r sen ⁡ θ = 0

Sendo assim:

x 2 + y 2 - 8 y = 0

Somando ambos os lados por 16, para completar o quadrado:

x 2 + y 2 - 8 y + 16 = 16

Temos o seguinte:

x 2 + y - 4 2 = 16

E temos o seguinte gráfico:

Onde é uma circunferência, C 0 ,   4 , com raio 4 .

Resposta

x 2 + y - 4 2 = 16 , circunferência, C 0 ,   4 , raio 4 .

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