Enunciado

Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.

r sen ⁡ 2 π 3 - θ = 5

Passo 1

Olá galerinha, vamos relembrar rapidinho a relação entre as coordenadas polares e cartesianas.

Quando utilizamos coordenadas polares e cartesianas em um plano, posicionamos as duas origens juntas e tomamos o raio polar inicial como o eixo x positivo. O raio θ = π / 2 , r > 0 , torna-se o eixo y   positivo. Os dois sistemas de coordenadas estão relacionados.

As seguintes equações determinam unicamente as coordenadas cartesianas x e y , dadas as coordenadas polares r e θ :

Porém, se x e y são dadas, usamos as equações:

Passo 2

Sendo assim, do enunciado, temos a seguinte equação polar:

r sen ⁡ 2 π 3 - θ = 5

Primeiramente iremos expandir a nossa equação:

sen ⁡ 2 π 3 - θ = cos ⁡ θ ∙ sen ⁡ 2 π 3 - cos ⁡ 2 π 3 ∙ sen ⁡ θ

Sendo assim, temos o seguinte:

r cos ⁡ θ ∙ sen ⁡ 2 π 3 - cos ⁡ 2 π 3 ∙ sen ⁡ θ = 5

Além disso, da trigonometria, sabemos:

cos ⁡ 2 π 3 = - 1 2 sen ⁡ 2 π 3 = 3 2

Logo:

r 3 ∙ cos ⁡ θ 2 - - s en ⁡ θ 2 = 5

3 r co s ⁡ θ 2 + r s en ⁡ θ 2 = 5

Transformando em coordenadas cartesianas:

3 x 2 + y 2 = 5

3 x + y = 10

Prontinho galera, até o próximo exercício!

Resposta

3 x + y = 10 .

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a distância entre os pontos com coordenadas polares 1 , π 6 e 3 , 3 π 4 .
Esboce a região do plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas. - 1 ≤ r ≤ 1 ,π 4 ≤ θ ≤ 3 π 4
As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas. (i) Encontre as coordenadas polares ( r ,θ ) do ponto, onde r0 e 0 ≤ θ2 π .(ii) Encontre as coordenadas polares ( r ,θ ) do ponto, onde r0 e 0 ≤ θ2 π
Escreva a equação (a) em coordenadas cilíndricas e (b) em coordenadas esféricas x 2 + y 2 = 2 y
Escreva a equação (a) em coordenadas cilíndricas e (b) em coordenadas esféricas x 2 - y 2 - 2 z 2 = 4