Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 81
Os ornitologistas determinaram que algumas espécies de pássaros tendem a evitar voos sobre largas extensões de água durante o dia. Acredita-se que é necessária mais energia para voar sobre a água que a terra, pois o ar em geral sobe sobre a terra e desce sobre a água durante o dia. Um pássaro com essas tendências é solto de uma ilha que está a do ponto mais próximo sobre uma praia reta, voa para um ponto na praia e então voa ao longo da praia para a área , seu ninho. Suponha que o pássaro instintivamente escolha um caminho que vai minimizar seu gasto de energia. Os pontos edistam um do outro.
(a) Em geral, se é preciso 1,4 vezes mais energia para voar sobre a água do que sobre a terra, para que ponto o pássaro precisa voar para minimizar a energia total gasta no retorno ao ninho?
(b) Sejam e a energia (em joules) por quilômetro voado sobre a água e sobre a terra, respectivamente. Qual o significado, em termos do voo do pássaro, de grandes valores da razão ? O que significaria um valor pequeno? Determine a razão correspondente ao mínimo dispêndio de energia.
(c) Qual deveria ser o valor de a fim de que o pássaro voasse diretamente para seu ninho ? Qual deveria ser o valor de para o pássaro voar para e então seguir ao longo da praia para ?
(d) Se os ornitologistas observarem que pássaros de certa espécie atingem a praia em um ponto a de, quantas vezes mais energia será despendida pelo pássaro para voar sobre a água que sobre a terra?
Passo 1
Esboçaremos o desenho seguinte:
Passo 2
(a ) Desejamos minimizar a energia. Se é a energia por quilômetro sobre a terra, então a energia por quilômetro sobre a água é , então a fórmula da energia total é:
Nesse caso,
Minimizando :
Testando os valores extremos de :
Então, para minimizar energia deve voar a um ponto a cerca de de .
Passo 3
(b ) Se é grande, o pássaro deve voar para um ponto que é mais próximo de que de para minimizar a energia usada voando sobre a água.
Se é pequeno, o pássaro deve voar para um ponto que é mais próximo de que de para minimizar a distância do voo.
Minimizando :
Seguindo o mesmo argumento de (a), essa relação dará o gasto mínimo de energia se a ave se dirigir ao ponto a cerca de de .
Passo 4
(c ) Para voar diretamente para , , então usando a resposta de (b) temos:
Não há valor de para o qual o pássaro deveria voar diretamente para , mas se fizermos , se o ponto que a energia é mínima é perto de , então é grande, porque a energia gasta voando sobre a água estará tendendo a zero.
Passo 5
(d ) Assumindo que os pássaros com certeza escolham o caminho que minimize o gasto de energia, podemos usar a esquação da parte a para derivar em função de , com e :
Resposta
- O pássaro deve voar a um ponto a cerca de de .
- Se é grande, o pássaro deve voar para um ponto que é mais próximo de que de para minimizar a energia usada voando sobre a água.
- Para voar diretamente para
Se é pequeno, o pássaro deve voar para um ponto que é mais próximo de que de para minimizar a distância do voo.
Não há valor de para o qual o pássaro deveria voar diretamente para