Enunciado

Os ornitologistas determinaram que algumas espécies de pássaros tendem a evitar voos sobre largas extensões de água durante o dia. Acredita-se que é necessária mais energia para voar sobre a água que a terra, pois o ar em geral sobe sobre a terra e desce sobre a água durante o dia. Um pássaro com essas tendências é solto de uma ilha que está a 5   k m do ponto mais próximo B sobre uma praia reta, voa para um ponto C na praia e então voa ao longo da praia para a área D , seu ninho. Suponha que o pássaro instintivamente escolha um caminho que vai minimizar seu gasto de energia. Os pontos   B e   D   distam 13   k m um do outro.

(a) Em geral, se é preciso 1,4 vezes mais energia para voar sobre a água do que sobre a terra, para que ponto C o pássaro precisa voar para minimizar a energia total gasta no retorno ao ninho?

(b) Sejam W e   L a energia (em joules) por quilômetro voado sobre a água e sobre a terra, respectivamente. Qual o significado, em termos do voo do pássaro, de grandes valores da razão W / L ? O que significaria um valor pequeno? Determine a razão W / L correspondente ao mínimo dispêndio de energia.

(c) Qual deveria ser o valor de W / L a fim de que o pássaro voasse diretamente para seu ninho D ? Qual deveria ser o valor de W / L para o pássaro voar para B e então seguir ao longo da praia para D ?

(d) Se os ornitologistas observarem que pássaros de certa espécie atingem a praia em um ponto a 4   k m de   B , quantas vezes mais energia será despendida pelo pássaro para voar sobre a água que sobre a terra?

Passo 1

Esboçaremos o desenho seguinte:

Passo 2

(a ) Desejamos minimizar a energia. Se k é a energia por quilômetro sobre a terra, então a energia por quilômetro sobre a água é 1,4 k , então a fórmula da energia total é:

E = 1,4 k x 2 + 25 + k 13 - x ,   0 ≤ x ≤ 13

Nesse caso, E = e n e r g i a d i s t â n c i a d i s t â n c i a .

Minimizando E :

d E d x = 1,4 k 25 + x 2 1 2 - k = 0

1,4 k x = k 25 + x 2 1 2

1,96 x 2 = x 2 + 25

0,96 x 2 = 25

x = 5 0,96 ≈ 5,1

Testando os valores extremos de E :

E 0 = 1,4 k 5 + 13 k = 20 k

E 5,1 ≈ 17,9 k

E 13 ≈ 19,5 k

Então, para minimizar energia deve voar a um ponto a cerca de 5,1   k m de B .

Passo 3

(b ) Se W L é grande, o pássaro deve voar para um ponto C que é mais próximo de B que de D para minimizar a energia usada voando sobre a água.

Se W L é pequeno, o pássaro deve voar para um ponto C que é mais próximo de D que de C para minimizar a distância do voo.

E = W x 2 + 25 + L 13 - x

Minimizando E :

d E d x = W x x 2 + 25 - L = 0

W L = x 2 + 25 x

Seguindo o mesmo argumento de (a), essa relação dará o gasto mínimo de energia se a ave se dirigir ao ponto a cerca de x   k m de B .

Passo 4

(c ) Para voar diretamente para D , x = 13 , então usando a resposta de (b) temos:

W L = 25 + 13 2 13 ≈ 1,07

Não há valor de W / L para o qual o pássaro deveria voar diretamente para B , mas se fizermos lim x → 0 + ⁡ W L = ∞ , se o ponto que a energia é mínima é perto de B , então W L é grande, porque a energia gasta voando sobre a água estará tendendo a zero.

Passo 5

(d ) Assumindo que os pássaros com certeza escolham o caminho que minimize o gasto de energia, podemos usar a esquação da parte a para derivar E em função de x , com 1,4 k = c ,   x = 4 , e k = 1 :

c 4 = 1 25 + 4 2 1 2

c = 41 4 ≈ 1,6

Resposta

  1. O pássaro deve voar a um ponto a cerca de 5,1   k m de B .
  2. Se W L é grande, o pássaro deve voar para um ponto C que é mais próximo de B que de D para minimizar a energia usada voando sobre a água.
  3. Se W L é pequeno, o pássaro deve voar para um ponto C que é mais próximo de D que de C para minimizar a distância do voo.

    W L = x 2 + 25 x

  4. Para voar diretamente para D :  
  5. W L = 25 + 13 2 13 ≈ 1,07

    Não há valor de W / L para o qual o pássaro deveria voar diretamente para B

  6. 1,6
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